Câu hỏi của Minh Hoàng

Question

1.Cho tam giác ABC vuông tại A có Ah là đường cao. E là hình chiếu H trên AC, D là hình chiếu H trên AB

a) Chứng minh $\dfrac{DB}{EC}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3$

b) Cho BC = 10cm, AH = 5cm....

Akai Haruma · Accepted Answer

Bài 1:

Vì $DH\parallel AC\Rightarrow \frac{BD}{BA}=\frac{BH}{BC}$ (định lý Ta-lét)

Vì $EH\parallel BA\Rightarrow \frac{EC}{CA}=\frac{CH}{CB}$ (Ta-lét)

$\Rightarrow \frac{BD}{BA}.\frac{CA}{EC}=\frac{BH}{CH}(1)$

Theo công thức lượng trong tam giác vuông (sgk) thì :

$\left\{\begin{matrix}
AB^2=BH.BC\
AC^2=CH.CB\end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{BH}{CH}=\frac{AB^2}{AC^2}(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow \frac{BD}{BA}.\frac{CA}{EC}=\frac{AB^2}{AC^2}$

$\Rightarrow \frac{BD}{EC}=\frac{AB^3}{AC^3}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^3$ (đpcm)

b)

Ta có: $BH+CH=BC=10$

$BH.CH=AH^2=25$ (theo hệ thức lượng)

$\Rightarrow BH=CH=5$ (cm)

Theo hệ thức lượng:

$\frac{1}{DH^2}=\frac{1}{BH^2}+\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^2}\Rightarrow DH=\frac{5}{\sqrt{2}}$

$\frac{1}{HE^2}=\frac{1}{AH^2}+\frac{1}{HC^2}=\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^2}\Rightarrow HE=\frac{5}{\sqrt{2}}$

$S_{ADHE}=DH.HE=\frac{25}{2}$ (cm vuông)Câu trả lời: Bài 1:

Vì $DH\parallel AC\Rightarrow \frac{BD}{BA}=\frac{BH}{BC}$ (định lý Ta-lét)

Vì $EH\parallel BA\Rightarrow \frac{EC}{CA}=\frac{CH}{CB}$ (Ta-lét)

$\Rightarrow \frac{BD}{BA}.\frac{CA}{EC}=\frac{BH}{CH}(1)$

Theo công thức lượng trong tam giác vuông (sgk) thì :

$\left\{\begin{matrix}
AB^2=BH.BC\
AC^2=CH.CB\end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{BH}{CH}=\frac{AB^2}{AC^2}(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow \frac{BD}{BA}.\frac{CA}{EC}=\frac{AB^2}{AC^2}$

$\Rightarrow \frac{BD}{EC}=\frac{AB^3}{AC^3}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^3$ (đpcm)

b)

Ta có: $BH+CH=BC=10$

$BH.CH=AH^2=25$ (theo hệ thức lượng)

$\Rightarrow BH=CH=5$ (cm)

Theo hệ thức lượng:

$\frac{1}{DH^2}=\frac{1}{BH^2}+\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^2}\Rightarrow DH=\frac{5}{\sqrt{2}}$

$\frac{1}{HE^2}=\frac{1}{AH^2}+\frac{1}{HC^2}=\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^2}\Rightarrow HE=\frac{5}{\sqrt{2}}$

$S_{ADHE}=DH.HE=\frac{25}{2}$ (cm vuông)

Akai Haruma · Answer

1c)

Theo tính chất đường phân giác:

$\frac{KI}{BK}=\frac{CI}{CB}\Rightarrow \frac{BI}{BK}=\frac{CI+CB}{CB}$

$\frac{KF}{CK}=\frac{BF}{BC}\Rightarrow \frac{CF}{CK}=\frac{BF+BC}{BC}$

$\Rightarrow \frac{BI}{BK}.\frac{CF}{CK}=\frac{(CI+CB)(BF+BC)}{BC^2}(1)$

Cũng theo tính chất tia phân giác:

$\frac{CI}{AI}=\frac{BC}{AB}\Rightarrow \frac{CI}{AC}=\frac{BC}{BC+AB}(2)$

$\frac{BF}{AF}=\frac{BC}{AC}\Rightarrow \frac{BF}{BA}=\frac{BC}{AC+BC}(3)$

Từ (1);(2);(3) , thay thế và rút gọn suy ra:

$\frac{BI}{BK}.\frac{CF}{CK}=\frac{(AB+BC+AC)^2}{(AB+BC)(AC+BC)}$

$=\frac{AB^2+AC^2+BC^2+2(AB.AC+AB.BC+AC.BC)}{AB.AC+AB.BC+AC.BC+BC^2}$

$=\frac{2BC^2+2(AB.AC+AB.BC+AC.BC)}{AB.AC+AB.BC+AC.BC+BC^2}=2$ (theo định lý Pitago)

Do đó:
$BI.CF=2BK.CK$ (đpcm)Câu trả lời: 1c)