Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
DRACULA

1.Cho \(\left(P\right):y=-\frac{1}{4}x^2\) và (d): y = 1

a.Tìm tọa độ tiểm A sao cho với mọi điểm S thuộc (P) thì khoảng cách từ S đến (d) bằng SA

b.Đường thẳng (d1) có hệ số góc là m qua B(0;2) và cắt (P) tại 2 điểm C, D. Tìm M sao cho C, D có độ dài ngắn nhất

Nguyễn Việt Lâm
14 tháng 4 2019 lúc 19:09

a/

Gọi \(A\left(a;b\right)\), \(S\left(s;\frac{-s^2}{4}\right)\)

\(\Rightarrow d\left(S;d\right)=1+\frac{s^2}{4}\); \(SA=\sqrt{\left(s-a\right)^2+\left(b+\frac{s^2}{4}\right)^2}\)

\(\Rightarrow\left(1+\frac{s^2}{4}\right)^2=\left(s-a\right)^2+\left(b+\frac{s^2}{4}\right)^2\) (1)

\(\Leftrightarrow1+\frac{s^2}{2}+\frac{s^4}{16}=s^2+a^2-2as+b^2+\frac{s^4}{16}+\frac{bs^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow s^2\left(1+\frac{b}{2}-\frac{1}{2}\right)-2as+a^2+b^2-1=0\) (2)

Để (1) đúng với mọi s khi và chỉ khi (2) nghiệm đúng với mọi s

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+\frac{b}{2}-\frac{1}{2}=0\\2a=0\\a^2+b^2-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=0\\b=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(A\left(0;-1\right)\)

Nguyễn Việt Lâm
14 tháng 4 2019 lúc 19:24

b/

Gọi \(d_1:\) \(y=mx+n\), do \(d_1\) qua \(B\left(0;2\right)\)

\(\Leftrightarrow2=0.m+n\Rightarrow n=2\Rightarrow y=mx+2\)

Phương trình hoành độ giao điểm: \(x^2+4mx+8=0\)

\(\Delta'=4m^2-8>0\Rightarrow m^2>2\)

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_C+x_D=-4m\\x_Cx_D=8\end{matrix}\right.\)

Với lưu ý quan trọng về định nghĩa hệ số góc: đường thẳng đi qua 2 điểm C, D có hệ số góc k thì ta luôn có: \(k=\frac{y_C-y_D}{x_C-x_D}\Leftrightarrow y_C-y_D=k\left(x_C-x_D\right)\)

Ta có:

\(CD^2=\left(x_C-x_D\right)^2+\left(y_C-y_D\right)^2=\left(x_C-x_D\right)^2+m^2\left(x_C-x_D\right)^2\)

\(=\left(m^2+1\right)\left(x_C-x_D\right)^2=\left(m^2+1\right)\left[\left(x_C+x_D\right)^2-4x_Cx_D\right]\)

\(=\left(m^2+1\right)\left(16m^2-32\right)=16\left(m^2+1\right)\left(m^2-2\right)\)

Đến đây thì đề bài có vấn đề, kết hợp với điều kiện delta thì không thể tìm được min cho biểu thức cuối cùng nếu C, D là hai điểm phân biệt.

Còn nếu C, D không cần phân biệt thì \(CD_{min}=0\) hay C trùng D khi \(m^2=2\)


Các câu hỏi tương tự
Big City Boy
Xem chi tiết
DRACULA
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
nguyễn hà hồng ngọc
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Kim Taehyung
Xem chi tiết
nguyễn minh
Xem chi tiết