a/
Gọi \(A\left(a;b\right)\), \(S\left(s;\frac{-s^2}{4}\right)\)
\(\Rightarrow d\left(S;d\right)=1+\frac{s^2}{4}\); \(SA=\sqrt{\left(s-a\right)^2+\left(b+\frac{s^2}{4}\right)^2}\)
\(\Rightarrow\left(1+\frac{s^2}{4}\right)^2=\left(s-a\right)^2+\left(b+\frac{s^2}{4}\right)^2\) (1)
\(\Leftrightarrow1+\frac{s^2}{2}+\frac{s^4}{16}=s^2+a^2-2as+b^2+\frac{s^4}{16}+\frac{bs^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow s^2\left(1+\frac{b}{2}-\frac{1}{2}\right)-2as+a^2+b^2-1=0\) (2)
Để (1) đúng với mọi s khi và chỉ khi (2) nghiệm đúng với mọi s
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+\frac{b}{2}-\frac{1}{2}=0\\2a=0\\a^2+b^2-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=0\\b=-1\end{matrix}\right.\)
Vậy \(A\left(0;-1\right)\)
b/
Gọi \(d_1:\) \(y=mx+n\), do \(d_1\) qua \(B\left(0;2\right)\)
\(\Leftrightarrow2=0.m+n\Rightarrow n=2\Rightarrow y=mx+2\)
Phương trình hoành độ giao điểm: \(x^2+4mx+8=0\)
\(\Delta'=4m^2-8>0\Rightarrow m^2>2\)
Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_C+x_D=-4m\\x_Cx_D=8\end{matrix}\right.\)
Với lưu ý quan trọng về định nghĩa hệ số góc: đường thẳng đi qua 2 điểm C, D có hệ số góc k thì ta luôn có: \(k=\frac{y_C-y_D}{x_C-x_D}\Leftrightarrow y_C-y_D=k\left(x_C-x_D\right)\)
Ta có:
\(CD^2=\left(x_C-x_D\right)^2+\left(y_C-y_D\right)^2=\left(x_C-x_D\right)^2+m^2\left(x_C-x_D\right)^2\)
\(=\left(m^2+1\right)\left(x_C-x_D\right)^2=\left(m^2+1\right)\left[\left(x_C+x_D\right)^2-4x_Cx_D\right]\)
\(=\left(m^2+1\right)\left(16m^2-32\right)=16\left(m^2+1\right)\left(m^2-2\right)\)
Đến đây thì đề bài có vấn đề, kết hợp với điều kiện delta thì không thể tìm được min cho biểu thức cuối cùng nếu C, D là hai điểm phân biệt.
Còn nếu C, D không cần phân biệt thì \(CD_{min}=0\) hay C trùng D khi \(m^2=2\)