Question

1/a + 1/b >= 4/a+b

Answer 1

Phải có điều kiện \(a,b>0\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge\left(\sqrt{a}.\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{b}.\dfrac{1}{\sqrt{b}}\right)^2=4\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b\)

Answer 2

Cách khác:

Áp dụng BĐT Cosi:

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{b}+\dfrac{a+b}{a}\ge4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b\)