17. Gọi \(z_1\), \(z_2\) là các nghiệm của pt \(z^2+4z+5=0\) . Đặt \(w=\left(1+z_1\right)^{100}+\left(1+z_2\right)^{100}\) . Khi đó
A. \(w=2^{50}i\)
B. \(w=-2^{51}\)
C. \(w=2^{51}\)
D. \(w=-2^{50}i\)
14. Trong mp tọa độ Oxy, gọi M là điểm biểu diễn số phức \(z=3-4i\) ; M' là điểm biểu diễn cho số phức \(z'=\frac{1+i}{2}z\) . Tính diện tích \(\Delta OMM'\)
A. \(\frac{25}{4}\)
B. \(\frac{25}{2}\)
C. \(\frac{15}{4}\)
D. \(\frac{15}{2}\)
10. TÌm 2 số thực \(x\) và \(y\) thỏa mãn \(\left(2x-3yi\right)+\left(1-3i\right)=x+6i\) với \(i\) là đơn vị ảo.
A. \(x=-1;\) \(y=-3\)
B. \(x=-1;\) \(y=-1\)
C. \(x=1;\) \(y=-1\)
D.\(x=1;\) \(y=-3\)
6. Hình tròn tâm \(I\left(-1;2\right)\) bán kính \(r=5\) là tập hợp điểm biểu diễn hình học của các số phức \(z\) thỏa mãn
A. \(\left\{{}\begin{matrix}z=\left(x+1\right)-\left(y-2\right)i\\\left|z\right|\ge5\end{matrix}\right.\)
B. \(\left\{{}\begin{matrix}z=\left(x+1\right)+\left(y-2\right)i\\\left|z\right|=5\end{matrix}\right.\)
C. \(\left\{{}\begin{matrix}z=\left(x-1\right)+\left(y+2\right)i\\\left|z\right|\le\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)
D. \(\left\{{}\begin{matrix}z=\left(x+1\right)-\left(y-2\right)i\\\left|z\right|\le5\end{matrix}\right.\)
3. Xét số phức thỏa mãn \(\left|z-2-4i\right|=\left|z-2i\right|\) . Tìm GTNN của \(\left|z\right|\)
A. 4
B. \(2\sqrt{2}\)
C. 10
D. 8
17.
\(z^2+4z+4=-1\Leftrightarrow\left(z+2\right)^2=i^2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}z_1=-2+i\\z_2=-2-i\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow w=\left(-1+i\right)^{100}+\left(-1-i\right)^{100}=\left(1-i\right)^{100}+\left(1+i\right)^{100}\)
Ta có: \(\left(1-i\right)^2=1+i^2-2i=-2i\)
\(\Rightarrow\left(1-i\right)^{100}=\left(1-i\right)^2.\left(1-i\right)^2...\left(1-i\right)^2\) (50 nhân tử)
\(=\left(-2i\right).\left(-2i\right)...\left(-2i\right)=\left(-2\right)^{50}.i^{50}=2^{50}.\left(i^2\right)^{25}=-2^{50}\)
Tượng tự: \(\left(1+i\right)^2=1+i^2+2i=2i\)
\(\Rightarrow\left(1+i\right)^{100}=2i.2i...2i=2^{50}.i^{50}=-2^{50}\)
\(\Rightarrow w=-2^{50}-2^{50}=-2^{51}\)
18.
\(z'=\left(\frac{1+i}{2}\right)\left(3-4i\right)=\frac{7}{2}-\frac{1}{2}i\)
\(\Rightarrow M\left(3;-4\right)\) ; \(M'\left(\frac{7}{2};-\frac{1}{2}\right)\)
\(S_{OMM'}=\frac{1}{2}\left|\left(x_M-x_O\right)\left(y_{M'}-y_O\right)-\left(x_{M'}-x_O\right)\left(y_M-y_O\right)\right|\)
\(=\frac{1}{2}\left|3.\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{7}{2}.\left(-4\right)\right|=\frac{25}{4}\)
10.
\(\left(2x-3yi\right)+\left(1-3i\right)=x+6i\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)+\left(-3y-3\right)i=x+6i\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+1=x\\-3y-3=6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-3\end{matrix}\right.\)
6.
\(\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2\le25\)
\(\Rightarrow\left|\left(x+1\right)-\left(y-2\right)i\right|\le5\)
\(\Rightarrow z\) là số phức: \(\left\{{}\begin{matrix}z=\left(x+1\right)-\left(y-2\right)i\\\left|z\right|\le5\end{matrix}\right.\)
Lưu ý: hình tròn khác đường tròn. Phương trình đường tròn là \(\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=R^2\)
Pt hình tròn là: \(\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2\le R^2\)
3.
\(z=x+yi\Rightarrow\left|x-2+\left(y-4\right)i\right|=\left|x+\left(y-2\right)i\right|\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+\left(y-4\right)^2=x^2+\left(y-2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow-4x-8y+20=-4y+4\)
\(\Leftrightarrow x=-y+4\)
\(\left|z\right|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\left(-y+4\right)^2+y^2}=\sqrt{2y^2-8y+16}\)
\(\left|z\right|=\sqrt{2\left(x-2\right)^2+8}\ge\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)