1/ Tìm số hạng thứ nhất, thứ hai của khai triển nhị thức (x3-2x)8 (các số hạng được sx theo thứ tự lũy thừa giảm dần của x)
2/ Tìm số hạng chính giữa trong khai triển nhị thức (1+2x)12
3/ Viết số hạng đầu và cuối của nhị thức \(\left(x+\frac{1}{x^3}\right)^{200}\)
4/ Tìm hệ số của số hạng chứa \(x^{15}\) trong khai triển \(\left(x^8-\frac{2}{x^5}\right)^n\) với \(C^{n-2}_n+C^n_{n+1}+C^{n+1}_{n+2}=68\)
5/ Tìm hệ số của số hạng không chứ x trong khai triển: \(\left(x^2y+\frac{11}{x}\right)^9\)
1.
\(\left(x^3-2x\right)^8=\sum\limits^8_{k=0}C_8^k\left(x^3\right)^{8-k}.\left(-2x\right)^k=\sum\limits^8_{k=0}C_8^k\left(-2\right)^kx^{24-2k}\)
Số hạng thứ nhất có \(k=0\) là: \(C_8^0\left(-2\right)^0x^{24}=x^{24}\)
Số hạng thứ 2 có \(k=1\) là: \(C_8^1\left(-2\right)^1x^{22}=-16x^{22}\)
2.
\(\left(1+2x\right)^{12}=\sum\limits^{12}_{k=0}C_{12}^k\left(2x\right)^k=\sum\limits^{12}_{k=0}C_{12}^k2^kx^k\)
Khai triển có 13 số hạng nên số hạng chính giữa có \(k=6\)
Số hạng chính giữa: \(C_{12}^62^6.x^6\)
3.
\(\left(x+x^{-3}\right)^{200}=\sum\limits^{200}_{k=0}C_{200}^kx^{200-k}\left(x^{-3}\right)^k=\sum\limits^{200}_{k=0}C_{200}^kx^{200-4k}\)
Số hạng đầu có \(k=0\) là: \(C_{200}^kx^{200}=x^{200}\)
Số hạng cuối có \(k=200\) là: \(C_{200}^{200}x^{-600}=\frac{1}{x^{600}}\)
4.
\(\frac{n!}{\left(n-2\right)!.2!}+\frac{\left(n+1\right)!}{n!}+\frac{\left(n+2\right)!}{\left(n+1\right)!}=68\)
\(\Leftrightarrow\frac{n\left(n-1\right)}{2}+n+1+n+2=68\)
\(\Leftrightarrow n^2+3n-130=0\Rightarrow n=10\)
\(\left(x^8-2.x^{-5}\right)^{10}=\sum\limits^{10}_{k=0}C_{10}^kx^{8k}\left(-2x^{-5}\right)^{10-k}=\sum\limits^{10}_{k=0}C_{10}^k\left(-2\right)^{10-k}x^{13k-50}\)
Số hạng chứa \(x^{15}\Rightarrow13k-50=15\)
\(\Rightarrow k=5\)
Số hạng đó là: \(C_{10}^5.\left(-2\right)^5.x^{15}\)
5.
\(\left(x^2y+11.x^{-1}\right)^9=\sum\limits^9_{k=0}C_9^k\left(x^2y\right)^k\left(11.x^{-1}\right)^{9-k}\)
\(=\sum\limits^9_{k=0}C_9^k\left(11\right)^{9-k}x^{3k-9}y^k\)
Số hạng không chứa x \(\Leftrightarrow3k-9=0\)
\(\Leftrightarrow k=3\)
Hệ số: \(C_9^3.11^6\)
