Question

1. Tìm để biểu thức sau là số nguyên tố : A = 3n³ – 5n² + 3n – 5 .

2. a) Tìm n ∈ N để giá trị của biểu thức A = n³ + 2n² – 3 là :

1 ) số nguyên tố ; 2) Bằng 2013

b) Tìm n ∈ N để giá trị của biểu thức B = n⁴ – n³ – 6n² + 7n – 21 là số nguyên tố

3. Cho A = x⁴ + 4 và B = x⁴ + x² + 1

a) Tìm GTLN của A - B

b) Phân tích A và B thành nhân tử

c) Tìm các số tự nhiên x để A và B cùng là số nguyên tố .

4. Tìm n ∈ N để : a) A = n.2ⁿ+1 ⋮ 3

b) B = 12n²-5n – 25 là số ngưên tố.

c) C = 8n²+10 n+ 3 là số nguyên tố

d) D = (n²+3n)/ 4 là số ngyên tố

5. Chứng minh ∀ số tự nhiên n khác không thì :

a) Số (6n + 1) và số (5n + 1) nguyên tố cùng nhau

b) Số (2n - 1) và số (2n + 1) nguyên tố cùng nhau

6. a) Tìm a N để (a + 1) ; (4a² + 8a + 5) và (6a² + 12a + 7) đồng thời là các số nguyên tố .

b) Chứng minh : nếu p là số nguyên tố khác 3 thì số A = 3n + 2014 + 2012p² là hợp số ,với n N

7. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên tố p đều tồn tại vô số số tự nhiên n sao cho2ⁿ - n ⋮ p

8. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p² + 14 là số nguyên tố.

9. Cho p ≥ 7 là số nguyên tố. CMR: 11...1( p-1 chữ số 1) ⋮ p.

10. Cho 4 số nguyên dương a , b , c , d thỏa mãn : a² + b² = c² + d²

Chứng minh a + b + c + d là hợp số

11. Tìm số tự nhiên n sao cho số p = n³ – n² – 7n + 10 là số nguyên tố.

Answer 1

Bài 2:

1.

$A=n^3+2n^2-3=(n^3-1)+2(n^2-1)=(n-1)(n^2+n+1)+2(n-1)(n+1)$

$=(n-1)(n^2+n+1+2n+2)=(n-1)(n^2+3n+3)$

Để $A$ là số nguyên tố thì 1 trong 2 số $n-1,n^2+3n+3$ phải bằng $1$

Dễ thấy với $n\in\mathbb{N}$ thì $n^2+3n+3>1$. Do đó $n-1=1\Rightarrow n=2$

Khi đó $A=13$ là snt (thỏa mãn)

2.

$A=n^3+2n^2-3=2013$

$\Leftrightarrow n^3+2n^2-2016=0$

$\Leftrightarrow n^2(n-12)+14n(n-12)+168(n-12)=0$

$\Leftrightarrow (n-12)(n^2+14n+168)=0$

Dễ thấy với $n\in\mathbb{N}$ thì $n^2+14n+168>0$

Do đó $n-12=0\Rightarrow n=12$

Answer 2

Bài 10:

$a^2+b^2=c^2+d^2$

$\Leftrightarrow (a+b)^2-(c+d)^2=2ab-2cd$

Có $2ab-2cd$ chẵn với $a,b,c,d$ nguyên dương

$\Rightarrow (a+b)^2-(c+d)^2$ chẵn.

$\Rightarrow a+b,c+d$ phải có cùng tính chẵn lẻ.

$\Rightarrow a+b+c+d$ chẵn

Mà $a+b+c+d\geq 4$ với mọi $a,b,c,d$ nguyên dương

Do đó $a+b+c+d$ là hợp số (đpcm)

Answer 3

Bài 1:

Ta có: $A=3n^3-5n^2+3n-5=n^2(3n-5)+(3n-5)=(3n-5)(n^2+1)$

Để $A$ là số nguyên tố thì 1 trong 2 thừa số $3n-5$ hoặc $n^2+1$ bằng $1$

Nếu $3n-5=1\Rightarrow n=2$. Thay vào $A=5\in\mathbb{P}$ (thỏa mãn)

Nếu $n^2+1=1\Rightarrow n=0\Rightarrow A=-5$ không phải số nguyên tố (loại)

Vậy $n=2$

Answer 4

Bài 2:

a)

1.

$A=n^3+2n^2-3=(n^3-1)+2(n^2-1)=(n-1)(n^2+n+1)+2(n-1)(n+1)$

$=(n-1)(n^2+n+1+2n+2)=(n-1)(n^2+3n+3)$

Để $A$ là số nguyên tố thì 1 trong 2 số $n-1,n^2+3n+3$ phải bằng $1$

Dễ thấy với $n\in\mathbb{N}$ thì $n^2+3n+3>1$. Do đó $n-1=1\Rightarrow n=2$

Khi đó $A=13$ là snt (thỏa mãn)

2.

$A=n^3+2n^2-3=2013$

$\Leftrightarrow n^3+2n^2-2016=0$

$\Leftrightarrow n^2(n-12)+14n(n-12)+168(n-12)=0$

$\Leftrightarrow (n-12)(n^2+14n+168)=0$

Dễ thấy với $n\in\mathbb{N}$ thì $n^2+14n+168>0$

Do đó $n-12=0\Rightarrow n=12$

b)

$B=n^4-n^3-6n^2+7n-21=n^2(n^2-n-6)+7(n-3)$

$=n^2(n-3)(n+2)+7(n-3)=(n-3)(n^3+2n^2+7)$

Để $B$ là snt thì 1 trong 2 thừa số $n-3$ hoặc $n^3+2n^2+7$ phải bằng $1$

Dễ thấy $n^3+2n^2+7>1$ với mọi $n$ tự nhiên

Do đó $n-3=1\Rightarrow n=4$

Thay vào $B$ thu được $B=103$ là số nguyên tố.

Answer 5

Bài 3:

a)

$A-B=x^4+4-(x^4+x^2+1)=3-x^2\leq 3$ do $x^2\geq 0$

Do đó $(A-B)_{\max}=3$. Giá trị này đạt tại $x=0$

b)

$A=x^4+4=(x^2)^2+2^2+2.x^2.2-4x^2$

$=(x^2+2)^2-(2x)^2=(x^2+2-2x)(x^2+2+2x)$

$B=x^4+x^2+1=(x^2)^2+1+2x^2-x^2$

$=(x^2+1)^2-x^2=(x^2+1-x)(x^2+1+x)$

c)

Để $A$ là snt thì 1 trong 2 thừa số $x^2+2-2x, x^2+2+2x$ phải bằng $1$

Vì $x^2+2-2x\leq x^2+2+2x$ với $x\in\mathbb{N}$ nên $x^2+2-2x=1$

$\Leftrightarrow x^2-2x+1=0\Leftrightarrow (x-1)^2=0\Rightarrow x=1$

Thay vào $A$ thì $A=5$ là snt

Thay vào $B$ thì $B=3$ là snt

Vậy $x=1$

Answer 6

Bài 4:

a) Xét các TH sau:

Nếu $n=6k+1$

$n\equiv 1\pmod 3$

$2^n\equiv (-1)^n=(-1)^{6k+1}\equiv -1\pmod 3$

$\Rightarrow n.2^n+1\equiv 1.(-1)+1\equiv 0\pmod 3$

Hay $n.2^n+1\vdots 3$

Nếu $n=6k+2$

$n\equiv 2\pmod 3$

$2^n\equiv (-1)^n=(-1)^{6k+2}\equiv 1\pmod 3$

$\Rightarrow n.2^n+1\equiv 2.1+1\equiv 0\pmod 3$

Hay $n.2^n+1\vdots 3$

Tương tự với các TH $n=6k+3, 6k+4, 6k+5$ cuối cùng ta thấy để $n.2^n+1\vdots 3$ thì $n$ có dạng $6k+1, 6k+2$

b)

$B=12n^2-5n-25=4n(3n-5)+5(3n-5)=(4n+5)(3n-5)$

Để $B$ nguyên tố thì $4n+5$ hoặc $3n-5$ bằng $1$

Dễ thấy $n\in\mathbb{N}$ thì $4n+5>1$. Do đó $3n-5=1\Rightarrow n=2$

Thay vào biểu thức $B$ thì $B=13$ là snt

c)

$C=8n^2+10n+3=4n(2n+1)+3(2n+1)=(4n+3)(2n+1)$

Với $n\in\mathbb{N}$ thì $4n+3>1$ nên cần có $2n+1=1$

$\Rightarrow n=0$

Thay vào $C$ thì $C=3$ là số nguyên tố. Vậy.......

d)

Xét $n=4k(k\in\mathbb{N})$ thì $D=\frac{n^2+3n}{4}=\frac{n(n+3)}{4}=k(4k+3)$

Để $D$ nguyên tố thì $k$ hoặc $4k+3$ bằng $1$

Với $k\in\mathbb{N}$ thì $4k+3>1$ nên $k=1$

Khi $k=1\Rightarrow D=7$ (thỏa mãn)

Xét $n=4k+1$ thì $D=(k+1)(4k+1)$. Để $D$ nguyên tố thì cần phải có 1 thừa số bằng $1$. Mà $k+1\leq 4k+1$ nên

$k+1=1\Rightarrow k=0$. Khi đó $D=1$ không phải số nguyên tố

Xét $n=4k+2$ thì $D$ không phải số nguyên (loại)

Xét $n=4k+3$ thì $D$ không phải số nguyên (loại)

Answer 7

Bài 5:

a) Gọi $d$ là ước chung lớn nhất của $5n+1$ và $6n+1$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 5n+1\vdots d\\ 6n+1\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow (6n+1)-(5n+1)=n\vdots d\)

\(\left\{\begin{matrix} n\vdots d\\ 5n+1\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1\)

Do đó $5n+1$ và $6n+1$ nguyên tố cùng nhau

b) Gọi $d$ là ƯCLN của $2n-1$ và $2n+1$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2n-1\vdots d\\ 2n+1\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow (2n+1)-(2n-1)\vdots d\)

$\Leftrightarrow 2\vdots d$

Mà $2n+1$ lẻ nên ước của nó là $d$ cũng phải lẻ.

Do đó $d=1$

Suy ra $2n-1,2n+1$ nguyên tố cùng nhau.

Answer 8

Bài 6:

a) Đặt $a+1=p$

Khi đó:

$4a^2+8a+5=4(a^2+2a+1)+1=4(a+1)^2+1=4p^2+1$

$6a^2+12a+7=6(a^2+2a+1)+1=6p^2+1$

Vậy cần tìm số nguyên tố $p$ sao cho $4p^2+1, 6p^2+1$ cũng là số nguyên tố.

Xét các TH sau:

$p$ chia hết cho $5\Rightarrow p=5$. Thay vào $4p^2+1, 6p^2+1$ thấy thỏa mãn.

$p$ không chia hết cho $5\Rightarrow p^2\equiv 1,4\pmod 5$

$p^2\equiv 1\pmod 5\rightarrow 4p^2+1\equiv 0\pmod 5$ hay $4p^2+1\vdots 5\Rightarrow 4p^2+1=5\Rightarrow p=1$ (vô lý)

$p^2\equiv 4\pmod 5\Rightarrow 6p^2+1\equiv 0\pmod 5$ hay $6p^2+1\vdots 5\Rightarrow 6p^2+1=5\Rightarrow p^2=\frac{2}{3}$ (vô lý)

Vậy $p=5\Rightarrow a=4$

b)

Nếu $p$ là số nguyên tố khác $3$ thì $p$ không chia hết cho $3$

$\Rightarrow p\equiv \pm 1\pmod 3\Rightarrow p^2\equiv 1\pmod 3$

$\Rightarrow 2012p^2\equiv 2012\equiv 2\pmod 3$

Mặt khác: $3n\equiv 0\pmod 3$

$2014\equiv 1\pmod 3$

$\Rightarrow A= 3n+2014+2012p^2\equiv 2+0+1\equiv 0\pmod 3$

$\Rightarrow A=3n+2014+2012p^2\vdots 3$

Dễ thấy nó cũng lớn hơn $3$ với $p\in\mathbb{P}$ nên $A$ là hợp số.

Answer 9

Bài 10:

$a^2+b^2=c^2+d^2$

$\Leftrightarrow (a+b)^2-(c+d)^2=2ab-2cd$

Có $2ab-2cd$ chẵn với $a,b,c,d$ nguyên dương

$\Rightarrow (a+b)^2-(c+d)^2$ chẵn.

$\Rightarrow a+b,c+d$ phải có cùng tính chẵn lẻ.

$\Rightarrow a+b+c+d$ chẵn

Mà $a+b+c+d\geq 4$ với mọi $a,b,c,d$ nguyên dương

Do đó $a+b+c+d$ là hợp số (đpcm)

Answer 10

Bài 11:
$p=n^3-n^2-7n+10=n^3-2n^2+n^2-2n-5n+10$

$=n^2(n-2)+n(n-2)-5(n-2)=(n^2+n-5)(n-2)$

Để $p$ là số nguyên tố thì $n^2+n-5$ hoặc $n-2$ phải bằng $1$

Nếu $n^2+n-5=1$

$\Leftrightarrow n^2+n-6=0\Leftrightarrow (n+3)(n-2)=0$

$\Rightarrow n=2\Rightarrow p=0$ (vô lý)

Nếu $n-2=1\Rightarrow n=3$

$\Rightarrow p=7$ là snt (t.m)

Vậy $n=3$

Answer 11

Bài 9:

Đặt \(\underbrace{111....1}_{p-1}=a\Rightarrow 9a+1=10^{p-1}\)

Với $p\geq 7$ và $p$ nguyên tố thì $(10,p)=1$ và $(9,p)=1$. Do đó áp dụng định lý Fermat nhỏ:

$10^{p-1}\equiv 1\pmod p$

$\Leftrightarrow 9a+1\equiv 1\pmod p$

$\Rightarrow 9a\equiv 0\pmod p$

$\Rightarrow a\equiv 0\pmod p$ (do $(9,p)=1$)

Ta có đpcm.

Answer 12

Bài 8:

Nếu $p\vdots 3$ thì để $p$ là snt thì $p=3$

Khi đó $p^2+14=23$ là số nguyên tố

Nếu $p$ không chia hết cho $3$

$\Rightarrow p\equiv \pm 1\pmod 3\Rightarrow p^2\equiv 1\pmod 3$

$\Rightarrow p^2+14\equiv 15\equiv 0\pmod 3$

Mà $p^2+14>3$ nên $p^2+14$ không thể là số nguyên tố (trái với giả thiết)

Vậy $p=3$

Answer 13

Bài 7:

TH1: $p$ chẵn $\Rightarrow p=2$

Chọn các stn $n=2k$ với $k\geq 1$ thì $2^n-n=2^{2k}-2k$ đều chia hết cho $p=2$

Có vô số tự nhiên $k$ nên có vô số số tự nhiên $n$

TH2: $p$ lẻ. Áp dụng định lý Fermat nhỏ:

$2^{p-1}\equiv 1\pmod p$

$\Rightarrow 2^{k(p-1)}\equiv 1\pmod p$ với $k\in\mathbb{N}$

Chọn $n=k(p-1)$ và $k\equiv -1\pmod p$

Khi đó: 2^n-n=2^{k(p-1)}-k(p-1)\equiv 1-(-1)(-1)\equiv 0\pmod p$

Vậy chọn $n=k(p-1)$ với $k\equiv -1\pmod p$ thì $2^n-n\vdots p$. Có vô số số tự nhiên $k\equiv -1\pmod p$ nên có vô số số tự nhiên $n$.

Từ 2 TH trên ta suy ra đpcm.