a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz , ta được
\(\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz}=1\)(đpcm)
Cho a,b,c > 0.
Chứng minh:
\(\frac{2xy}{z^2}+\frac{2yz}{x^2}+\frac{2zx}{y^2}-\frac{x}{y}-\frac{y}{x}-\frac{y}{z}-\frac{z}{y}-\frac{z}{x}-\frac{x}{z}\ge0\)
Cho x;y;z > 0 Tìm Min.
P = \(\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2zx}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\)
Cho \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1\).Tìm GTLN của P = \(\frac{1}{\sqrt{5x^2+2xy+2y^2}}+\frac{1}{\sqrt{5y^2+2yz+2z^2}}+\frac{1}{\sqrt{5z^2+2xz+2z^2}}\)
1. Cho a,b,c > 0. Cmr: a) \(\frac{bc}{a^2+2bc}+\frac{ca}{b^2+2ca}+\frac{ab}{c^2+2ab}\le1\)
b) \(\frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}+\frac{bc^2}{b^2+2c^2+a^2}+\frac{ca^2}{c^2+2a^2+b^2}\le\frac{a+b+c}{4}\)
2. Cho \(x,y,z>0;x+\frac{y}{3}+\frac{z}{5}\ge3;\frac{y}{3}+\frac{z}{5}\ge2;\frac{z}{5}\ge1.MaxP=x^2+y^2+z^2\)
3. Cho \(x>0;y\ge2;2x+y+xy\ge6.MinP=x^3+y^2\)
4. Cho \(0< \alpha< \beta< \gamma\). Giả sử x,y,z > 0 TM \(z\ge\gamma;\frac{x}{\alpha}+\frac{y}{\beta}+\frac{z}{\gamma}+\frac{xyz}{\alpha\beta\gamma}=4;\frac{y}{\beta}+\frac{z}{\gamma}+\frac{yz}{\beta\gamma}=3.MinP=x^3+y^3+z^3\)
Cho x,y,z đôi một khác nhau và \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\)
Tính A=\(\dfrac{yz}{x^2+2yz}+\dfrac{xz}{y^2+2xz}+\dfrac{xy}{z^2+2xy}\)
1, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : \(M=\frac{y\sqrt{x-1}+x\sqrt{y-4}}{xy}\)
2, Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn : \(2x^2+y^2+4x=4+2xy\)
3, Cho x,y,z >0 . Chứng minh : \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\)
Cho x,y,z >0 thỏa mãn \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=3\). Tìm GTLN của biểu thức \(P=\dfrac{1}{\sqrt{5x^2+2xy+2y^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{5y^2+2yz+2z^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{5z^2+2xz+2x^2}}\)
Cho x, y, z > 0 thỏa mãn \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\). CMR:
\(\frac{x}{x^4+1+2xy}+\frac{y}{y^4+1+2yz}+\frac{z}{z^4+1+2zx}\le\frac{3}{4}\)
Cho x,y,z là số dường.chứng minh\(\frac{x^3+y^3}{2xy}+\frac{y^3+z^3}{2yz}+\frac{z^3+x^3}{2zx}\)≥x+y+z
