1. cho x=\(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\) là một nghiệm của phương trình \(ax^2+bx+1=0\). Vowisa, b là các số hữu tỉ. Tìm a, b
2.Cho P là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh \(P^{20}-1⋮100\)
3. cm: \(a^4+b^4+c^4< 2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2\) với a, b, c là độ dài các cạnh của 1 tam giác
4. tìm x nguyên sao cho \(x^3-3x^2+x+2\) là số chính phương
\(x=\left(\sqrt{2}+1\right)^2=3+2\sqrt{2}\)
Do x là nghiệm của pt nên:
\(a.\left(3+2\sqrt{2}\right)^2+b.\left(3+2\sqrt{2}\right)+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(17+12\sqrt{2}\right)a+\left(3+2\sqrt{2}\right)b+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(12a+2b\right)\sqrt{2}=-17a-3b-1\)
Do a;b là số hữu tỉ và \(\sqrt{2}\) vô tỉ nên dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}12a+2b=0\\-17a-3b-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=-6\end{matrix}\right.\)
3/
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2a^2c^2+2b^2c^2-4b^2c^2< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2-c^2\right)^2-\left(2bc\right)^2< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2+2bc-c^2\right)\left(a^2-b^2-2bc-c^2\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow\left[a^2-\left(b-c\right)^2\right]\left[a^2-\left(b+c\right)^2\right]< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)\left(a-b-c\right)\left(a+b+c\right)< 0\) (1)
Do a;b;c là 3 cạnh của tam giác nên
\(\left\{{}\begin{matrix}a+c-b>0\\a+b-c>0\\a+b+c>0\\a-b-c< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(1\right)\) luôn đúng
4/ \(A=x^3-3x^2+x+2=\left(x-2\right)\left(x^2-x-1\right)\)
Để A là SCP \(\Rightarrow A\ge0\Rightarrow x\ge0\)
Gọi \(ƯC\left(x-2;x^2-x-1\right)=d\)
\(\Rightarrow\left(x^2-x-1\right)-x\left(x-2\right)⋮d\)
\(\Rightarrow x-1⋮d\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)-\left(x-2\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow x^2-x-1\) và \(x-2\) nguyên tố cùng nhau
\(\Rightarrow A\) là số chính phương khi và chỉ khi \(\left[{}\begin{matrix}x-2=x^2-x-1\\\left\{{}\begin{matrix}x-2=a^2\\x^2-x-1=b^2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
TH1: \(x-2=x^2-x-1\Rightarrow x=1\)
TH2: \(x^2-x-1=b^2\Leftrightarrow4x^2-4x-4=4b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)^2-\left(2b\right)^2=5\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-2b-1\right)\left(2x+2b-1\right)=5\)
Tự giải pt ước số và thay lại kiểm tra
