1.
Hình vẽ:
Giải:
Gọi M là giao điểm của \(KC\) và \(AC\) ; gọi \(N\) là giao điểm của \(CH\) và \(AK\)
\(\Delta ABC\) vuông cân tại B nên:
\(\widehat{ACB}=45^o\)
\(\Delta HKB\) vuông cân tại B nên:
\(\widehat{HKB}=45^o\)
Xét \(\Delta KMC\) có:
\(\widehat{KMC}=180^o-\left(45^o+45^o\right)=90^o\)
Vậy: \(KM\perp AC\)
Xét \(\Delta AKC\) có:
\(AB\) và \(KM\) là hai đường cao cắt nhau tại \(H\)
\(\Rightarrow CH\) cũng là đường cao
\(\Rightarrow CH\perp AK\)
Ta có:
\(\widehat{AKC}=\widehat{ACH}\) ( hai góc có cạnh tương ứng vuông góc )
Mà \(\widehat{ACH}=\frac{1}{3}.45^o=15^o\)
Nên \(\widehat{AKH}=15^o\)
2.
Hình vẽ:
Giải:
a) Trong \(\Delta ABC\) ta vẽ \(\Delta EBC\) vuông cân tại \(E\)
\(\widehat{EBC}=45^o\)
Ta có:
\(EB^2+EC^2=BC^2\)
\(2EB^2=4;EB^2=2;EB=\sqrt{2}\)
Vậy \(AD=EB=\sqrt{2}\)
\(\Delta BAE=\Delta CAE\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{BAE}=\widehat{CAE}=15^o\)
\(\widehat{ABC}=\left(180^o-30^o\right):2=75^o\)
\(\widehat{ABE}=75^o-45^o=30^o\)
Vậy \(\widehat{ABE}=\widehat{BAD}=30^o\)
\(\Delta ABD=\Delta BAE\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{BAE}=15^o\)
b) \(\Delta DBC\) có :
\(\widehat{DBC}=75^o-15^o=60^o\)
\(\widehat{DCB}=75^o\)
\(\widehat{BDC}=45^o\)
\(\Rightarrow\widehat{BDC}< \widehat{DBC}< \widehat{DCB}\left(45^o< 60^o< 75^o\right)\)
Do đó:
\(BC< CD< BD\) ( quan hệ giữa canh và góc đối diện )
