a) Do BD là đường trung tuyến (gt)
⇒ D là trung điểm của AC
Do CE là đường trung tuyến (gt)
⇒ E là trung điểm của AB
∆ABG có:
E là trung điểm của AB (cmt)
H là trung điểm của GB (gt)
⇒ EH là đường trung bình của ∆ABG
⇒ EH // AG và EH = AG : 2
∆ACG có:
D là trung điểm của AC (cmt)
K là trung điểm của GC (gt)
⇒ DK là đường trung bình của ∆ACG
⇒ DK // AG và DK = AG : 2
Ta có:
DK // AG (cmt)
EH // AG (cmt)
⇒ DK // EH
DK = AG : 2 (cmt)
EH = AG : 2 (cmt)
⇒ DK = EH
Tứ giác DEHK có:
DK // EH (cmt)
DK = EH (cmt)
⇒ DEHK là hình bình hành
b) Để DEHK là hình chữ nhật thì DH = EK
Mà DH cắt EK tại G
⇒ G là trung điểm của DH và EK
⇒ GE = GH = GK = GD
Do BD và CE cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của ∆ABC
⇒ GD = BD : 3
GE = CE : 3
Mà GD = GE (cmt)
⇒ BD = CE
⇒ ∆ABC cân tại A (tam giác cân có hai đường trung tuyến bằng nhau)
c) BD ⊥ CE
HD ⊥ KE
Mà DEHK là hình bình hành
⇒ DEHK là hình thoi
