Đặt \(f\left(x\right)=4\left(x-1\right)e^x-y\left(e^x+xy-2x^2-3\right)\)
\(f'\left(x\right)=4x.e^x-y\left(e^x+y-4x\right)=\left(e^x+y\right)\left(4x-y\right)\)
\(f'\left(x\right)=0\Rightarrow4x-y=0\Rightarrow x=\dfrac{y}{4}\)
\(f\left(1\right)=-y\left(e+y-5\right)\) ; \(f\left(6\right)=-6y^2+\left(75-e^6\right)y+20e^6\)
TH1: \(y\le4\Rightarrow f'\left(x\right)>0;\forall x\in\left(1;6\right)\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên (1;6) \(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) có nghiệm trên (1;6) khi và chỉ khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}f\left(1\right)=-y\left(e+y-5\right)< 0\\f\left(6\right)=-6y^2+\left(75-e^6\right)y+20e^6>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y>5-e\approx2,3\\-73,1< y< 18,4\end{matrix}\right.\) (1)
Kết hợp \(y\le4\Rightarrow y=\left\{3;4\right\}\)
TH2: \(y\ge24\Rightarrow f'\left(x\right)< 0;\forall x\Rightarrow f\left(x\right)\) nghịch biến
\(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) có nghiệm trên (1;6) khi và chỉ khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}f\left(1\right)>0\\f\left(6\right)< 0\end{matrix}\right.\) không tồn tại y thỏa mãn do \(y\ge24\Rightarrow f\left(1\right)=-y\left(e+y-5\right)< 0\)
TH3: \(4< y< 24\) \(\Rightarrow\) trên (1;6) thì \(f\left(x\right)\) nhận \(f\left(\dfrac{y}{4}\right)\) là cực tiểu (đồng thời là GTNN)
\(f\left(1\right)=-y\left(e+y-5\right)< 0;\forall y\in\left(4;24\right)\) \(\Rightarrow f\left(\dfrac{y}{4}\right)< 0\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) có nghiệm khi và chỉ khi \(f\left(6\right)>0\)
Theo (1) ta được \(-73,1< y< 18,4\)
Kết hợp \(y\in\left(4;24\right)\Rightarrow y=\left\{5;6;...;18\right\}\)
Vậy \(y=\left\{3;4;...;18\right\}\) có tổng cộng 16 số nguyên dương thỏa mãn
