11.
Áp dụng định lý hàm cos:
\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2-2AB.AC.cos120^0}=a\sqrt{7}\)
Áp dụng công thức trung tuyến:
\(AM=\dfrac{\sqrt{2\left(AB^2+AC^2\right)-BC^2}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)
Do \(SM\perp\left(ABC\right)\Rightarrow\widehat{SAM}=45^0\)
\(\Rightarrow SM=AM.tan45^0=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(V=\dfrac{1}{3}SM.\dfrac{1}{2}AB.AC.sin120^0=\dfrac{a^3}{4}\)
12.
Do \(AA'||CC'\Rightarrow\) góc giữa AA' và BC' bằng góc giữa BC' và CC'
\(\Rightarrow\widehat{BC'C}=30^0\)
Gọi D là trung điểm BC \(\Rightarrow AD\perp BC\Rightarrow AD\perp\left(BCC'B'\right)\)
\(\Rightarrow AD=d\left(A;\left(BCC'B'\right)\right)\)
\(AA'||\left(BCC'B'\right)\Rightarrow d\left(AA';BC'\right)=d\left(AA';\left(BCC'B'\right)\right)=d\left(A;\left(BCC'B'\right)\right)=AD\)
\(\Rightarrow AD=a\)
Mà \(AD=\dfrac{BC\sqrt{3}}{2}\Rightarrow BC=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\)
\(\Rightarrow CC'=\dfrac{BC}{tan30^0}=2a\)
\(\Rightarrow V=CC'.\dfrac{BC^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{2a^3\sqrt{3}}{3}\)
