Chương 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Hồng Phúc
19 tháng 8 2021 lúc 22:39

87.

\(\left(sinx+\sqrt{3}cosx\right)sin3x=2\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{2}sinx+\dfrac{\sqrt{3}}{2}cosx\right)sin3x=1\)

\(\Leftrightarrow sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right).sin3x=1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}cos\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)-\dfrac{1}{2}cos\left(4x+\dfrac{\pi}{3}\right)=1\)

\(\Leftrightarrow cos\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)-cos\left(4x+\dfrac{\pi}{3}\right)=2\)

Ta có:

\(cos\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)\le1;cos\left(4x+\dfrac{\pi}{3}\right)\ge-1\)

\(\Rightarrow cos\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)-cos\left(4x+\dfrac{\pi}{3}\right)\le2\)

Đẳng thức xảy ra khi: 

\(\left\{{}\begin{matrix}cos\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)=1\\cos\left(4x+\dfrac{\pi}{3}\right)=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-\dfrac{\pi}{3}=k2\pi\\4x+\dfrac{\pi}{3}=\pi+k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi\\x=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k\pi}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi\)

Lê Thị Thục Hiền
19 tháng 8 2021 lúc 22:49

Câu 88:

\(\sqrt{5+sin^2x}=sinx+2cosx\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{1+\dfrac{sin^2x}{5}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}sinx+\dfrac{2}{\sqrt{5}}cosx\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{1+\dfrac{sin^2x}{5}}=sin\left(x+arc.cos\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)\)

Có \(\sqrt{1+\dfrac{sin^2x}{5}}\ge\sqrt{1+0}=1\)

\(sin\left(x+arc.cos\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)\le1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}sin^2x=0\\sin\left(x+arc.cos\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=k\pi\\x+arc.cos\dfrac{1}{\sqrt{5}}=k\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=k\pi\\x=k\pi-arc.cos\dfrac{1}{\sqrt{5}}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x\in\varnothing\)

Vậy \(S=\varnothing\)

Lê Thị Thục Hiền
19 tháng 8 2021 lúc 22:53

Câu 89:

\(cos^24x+cos^28x=sin^212x+sin^216x+2\)

\(\Leftrightarrow cos^24x+cos^28x=sin^212x+sin^216x+sin^24x+cos^24x+sin^28x+cos^28x\)

\(\Leftrightarrow sin^212x+sin^216x+sin^24x+sin^28x=0\)

Có \(VT\ge0\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}sin12x=0\\sin16x=0\\sin4x=0\\sin8x=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{k\pi}{12}\\x=\dfrac{k\pi}{16}\\x=\dfrac{k\pi}{4}\\x=\dfrac{k\pi}{8}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x=0\)

Vậy x=0

Hồng Phúc
19 tháng 8 2021 lúc 22:49

88.

\(\sqrt{5+sin^2x}=sinx+2cosx\)

Ta có: 

\(VP=sinx+2cosx\le\sqrt{\left(1^2+2^2\right)\left(sin^2x+cos^2x\right)}=\sqrt{5}\)

\(VT=\sqrt{5+sin^2x}\ge\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow\sqrt{5+sin^2x}\ge sinx+2cosx\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}sinx+2cosx=\sqrt{5}\\sinx=0\end{matrix}\right.\left(vn\right)\)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Hồng Phúc
19 tháng 8 2021 lúc 22:55

\(cos^24x+cos^28x=sin^212x+sin^216x+2\)

\(\Leftrightarrow2-sin^24x-sin^28x=sin^212x+sin^216x+2\)

\(\Leftrightarrow sin^24x+sin^28x+sin^212x+sin^216x=0\)

\(\Leftrightarrow sin4x=sin8x=sin12x=sin16x=0\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{k\pi}{4}\)


Các câu hỏi tương tự
Ken Tom Trần
Xem chi tiết
Anh Nguyễn
Xem chi tiết
Julian Edward
Xem chi tiết
Minh Tài
Xem chi tiết
Yang Yang
Xem chi tiết
nanako
Xem chi tiết