Chương 3: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

\(2x^2-xy-8xy^2+4y^3=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(2x-y\right)-4y^2\left(2x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4y^2\right)\left(2x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}4y^2=x\\y=2x\end{matrix}\right.\)

Thế xuống pt dưới: \(\left[{}\begin{matrix}16x^3+2x-2x+5=0\\2y^3+y-8y^2+5=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^3=-\dfrac{5}{16}\\\left(y-1\right)\left(2y^2-6y-5\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow...\)

`\sqrt{x+3}+\sqrt{6-x}=\sqrt{(x+3)(6-x)}+3(-3<=x<=6)`

`<=>x+3+6-x=(x+3)(6-x)+9+6\sqrt{(x+3)(6-x)}`

`<=>9=9+(x+3)(6-x)+6\sqrt{(x+3)(6-x)}`

`<=>(x+3)(6-x)+6\sqrt{(x+3)(6-x)}=0`

`<=>\sqrt{(x+3)(6-x)}(\sqrt{(x+3)(6-x)}+6)=0`

`<=>\sqrt{(x+3)(6-x)}=0`

`<=>x=-3\or\x=6`

Vậy `S={-3,6}`

\(-1\le\dfrac{x^2+5x+m}{2x^2-3x+2}< 7\) ∀x ∈ R

ta thấy \(2x^2-3x+2\)  (*)vô nghiệm => * luôn dương ( cx dấu vs a)

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x^2+5x+m}{2x^2-3x+2}+1\ge0\\\dfrac{x^2+5x+m}{2x^2-3x+2}-7< 0\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}3x^{2^{ }}+2x+m+2\ge0\\-13x^2+26x+m-14< 0\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}a>0\\\Delta\le0\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}a< 0\\\Delta< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

.....

tới đây bạn tự thế số vào làm tiếp nhé 

 Đ\Á :[\(\dfrac{-5}{3}\);1)

\(\Sigma\) các hệ số =0                         ta có 1 nghiệm là x=1

\(\Sigma\) hệ số chẵn =\(\Sigma\) hệ số lẻ        ta có 1 nghiệm là x= -1

vd \(4x^5-4x^4-21x^3+19x^2+20x-12=0\)

ta có 

tổng hệ số chẳn là : \(-4+19-12=3\)

tổng hệ số lẻ là :\(4-21+20=3\)

 vậy pt trên có 1 nghiệm là -1 từ đó bạn dùng hoocno đẻ phân tích nha 

\(\Sigma\) 

+ Với \(m-1=0\Leftrightarrow m=1\), pt trở thành : \(-x^2=0\Leftrightarrow x=0\)( loại)

+ Với \(m-1\ne0\Leftrightarrow m\ne1\)

Đặt \(t=x^2\left(t\ge0\right)\)

pt trở thành \(\left(m-1\right)t^2-mt+m^2-1=0\left(1\right)\)

pt có 3 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm \(t_1,t_2\left(t_1=0< t_2\right)\)

Khi \(t_1=0\Rightarrow m=\pm1\). Vì có 2 nghiệm phân biệt nên \(m\ne1\)

Với \(m=-1\Rightarrow t_2=\dfrac{1}{2}\) ( nhận)

Vậy m=-1 thì pt đã cho có 3 nghiệm phân biệt

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x > - 2\\ y > 1\\ x + y > 0 \end{array} \right.\)

Hệ phương trình tương đương: \(\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {\dfrac{{x + y}}{{x + 2}}} + \sqrt {\dfrac{{x + y}}{{y - 1}}} = 2\\ {\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x + y}}} \right)^2} + \left( {\dfrac{{y - 1}}{{x + y}}} \right)^2 = 2 \end{array} \right.\). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} a = \sqrt {\dfrac{{x + y}}{{x + 2}}} \\ b = \sqrt {\dfrac{{x + y}}{{y - 1}}} \end{array} \right.\) (với \(a,b > 0\))

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} a + b = 2\\ \dfrac{1}{{{a^4}}} + \dfrac{1}{{{b^4}}} = 2 \end{array} \right.\left( * \right)\)

Áp dụng BĐT AM - GM, ta có:

\(\begin{array}{l} 2 = a + b \geqslant 2\sqrt {ab} \Rightarrow ab \leqslant 1\\ 2 = \dfrac{1}{{{a^4}}} + \dfrac{1}{{{b^4}}} \geqslant 2\sqrt {\dfrac{1}{{{a^4}}}.\dfrac{1}{{{b^4}}}} \Rightarrow ab \geqslant 1 \end{array}\)

Thế nên \(\left( * \right) \Leftrightarrow a = b = 1\)

Ta lại có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{x + y}}{{x + 2}} = 1\\ \dfrac{{x + y}}{{y - 1}} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 1\\ y = 2 \end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là \((-1;2)\)

Đk: \(\left\{{}\begin{matrix}x>-2\\y>1\\x+y>0\end{matrix}\right.\)

hpt\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{\dfrac{x+y}{x+2}}+\sqrt{\dfrac{x+y}{y-1}}=2\\2\left(x+y\right)^2=\left(x+2\right)^2+\left(y-1\right)^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{\dfrac{x+y}{x+2}}+\sqrt{\dfrac{x+y}{y-1}}=2\\\left(\dfrac{x+2}{x+y}\right)^2+\left(\dfrac{y-1}{x+y}\right)^2=2\end{matrix}\right.\)

Đặt \(a=\sqrt{\dfrac{x+y}{x+2}},b=\sqrt{\dfrac{x+y}{y-1}}\left(a,b>0\right)\)

Ta có hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\\\dfrac{1}{a^4}+\dfrac{1}{b^4}=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\\a^4+b^4=2a^4b^4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\\\left[\left(a+b\right)^2-2ab\right]^2-2a^2b^2=2a^4b^4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\\\left(4-2ab\right)^2-2a^2b^2=2a^4b^4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\\a^4b^4=a^2b^2-8ab+8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\\a^2b^2\left(a^2b^2-1\right)+8\left(ab-1\right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\\\left(ab-1\right)\left[a^2b^2\left(ab+1\right)+8\right]=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\\ab-1\end{matrix}\right.\left(a,b>0\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{\dfrac{x+y}{x+2}}=1\\\sqrt{\dfrac{x+y}{y-1}}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=x+2\\x+y=y-1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=2\end{matrix}\right.\)

ĐK: \(x\ge-\dfrac{3}{2}\)

\(\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+2}\le1\)

\(\Leftrightarrow3x+5+2\sqrt{2x^2+7x+6}\le1\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{2x^2+7x+6}\le-3x-4\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-3x-4\ge0\\4\left(2x^2+7x+6\right)\le\left(3x+4\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le-\dfrac{4}{3}\\8x^2+28x+24\le9x^2+16+24x\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le-\dfrac{4}{3}\\x^2-4x-8\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x\le2-2\sqrt{3}\)

Vậy \(-\dfrac{3}{2}\le x\le2-2\sqrt{3}\)