Chương 1: KHỐI ĐA DIỆN

Do A' cách đều A; B; C \(\Rightarrow\) hình chiếu vuông góc H của A' lên (ABC) trùng tâm của tam giác ABC

\(\Rightarrow\widehat{A'AH}=60^0\)

\(AH=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow AA'=\dfrac{AH}{cos60^0}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}=BB'=CC'=A'B=A'C\) (do A' cách đều A, B, C nên \(A'A=A'B=A'C\))

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}A'H\perp\left(ABC\right)\Rightarrow A'H\perp BC\\AH\perp BC\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow BC\perp\left(A'AH\right)\Rightarrow BC\perp AA'\)

\(\Rightarrow BC\perp BB'\Rightarrow B'C'CB\) là hình chữ nhật (hình bình hành có 1 góc vuông)

\(S_{BCC'B'}=BB'.BC=\dfrac{2a^2\sqrt{3}}{3}\)

Gọi M là trung điểm AB \(\Rightarrow A'M=\sqrt{A'A^2-\left(\dfrac{AB}{2}\right)^2}=\dfrac{a\sqrt[]{39}}{6}\)

\(S_{A'AB}=\dfrac{1}{2}A'M.AB=\dfrac{a^2\sqrt{39}}{12}\)

\(\Rightarrow S_{xq}=S_{BCC'B'}+4S_{A'AB}=...\)

Gọi H là trung điểm AB \(\Rightarrow SH\perp\left(ABCD\right)\)

\(\Rightarrow\) CH là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD)

\(\Rightarrow\widehat{SCH}=60^0\)

Do \(\widehat{ABD}=60^0\Rightarrow\) các tam giác ABD và BCD là tam giác đều cạnh a

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=120^0\)

Áp dụng định lý hàm cos cho tam giác BCH:

\(CH=\sqrt{BC^2+BH^2-2BC.BH.cos120^0}=\dfrac{a\sqrt{7}}{2}\)

\(\Rightarrow SH=CH.tan60^0=\dfrac{a\sqrt{21}}{2}\)

\(V=\dfrac{1}{3}SH.2S_{ABD}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{21}}{2}.2.\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{a^3\sqrt{7}}{8}\)

Gọi M là trung điểm AD \(\Rightarrow CM\perp AD\) (1)

\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CM\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow CM\perp\left(SAD\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{CSM}\) là góc giữa SC và (SAD)

\(AM=\dfrac{1}{2}AD=a\Rightarrow SM=\sqrt{SA^2+AM^2}=a\sqrt{3}\) ; \(CM=AB=a\)

\(tan\widehat{CSM}=\dfrac{CM}{SM}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow\widehat{CSM}=30^0\)

\(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\) (1)

Trong mp đáy, kẻ \(AH\perp BC\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAH\right)\)

Trong mp (SAH), kẻ \(AK\perp SH\Rightarrow AK\perp\left(SBC\right)\)

Hệ thức lượng tam giác vuông ABC: \(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{\sqrt{AB^2+AC^2}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

Hệ thức lượng tam giác vuông SAH:

\(\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{SA^2}\Rightarrow AK=\dfrac{AH.SA}{\sqrt{AH^2+SA^2}}=\dfrac{2a\sqrt[]{57}}{19}\)

Từ S kẻ \(SH\perp AC\) (1)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}SB\perp SA\\SB\perp SC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow SB\perp\left(SAC\right)\Rightarrow SB\perp AC\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow AC\perp\left(SBH\right)\)

Trong mp (SBH), từ S kẻ \(SK\perp BH\Rightarrow SK\perp\left(ABC\right)\)

\(\Rightarrow SK=d\left(S;\left(ABC\right)\right)\)

\(\dfrac{1}{SH^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{SC^2}\Rightarrow SH=\dfrac{SA.AC}{\sqrt{SA^2+SC^2}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(\dfrac{1}{SK^2}=\dfrac{1}{SB^2}+\dfrac{1}{SH^2}\Rightarrow SK=\dfrac{SB.SH}{\sqrt{SB^2+SH^2}}=\dfrac{a\sqrt{66}}{11}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}A'B'\perp AA'\\A'B'\perp A'C'\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A'B'\perp\left(ACC'A'\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{B'CA'}\) là góc giữa \(B'C\) và (ACC'A') \(\Rightarrow sin\widehat{B'CA'}=\dfrac{A'B'}{B'C}=\dfrac{1}{2\sqrt{5}}\)

Mặt khác:

 \(CC'||AA'\Rightarrow CC'||\left(ABB'A'\right)\Rightarrow d\left(A'B;CC'\right)=d\left(CC';\left(ABB'A'\right)\right)=d\left(C;\left(ABB'A'\right)\right)=AC\)

\(\Rightarrow AC=a\sqrt{3}\Rightarrow AB=AC.tan30^0=a\)

\(\Rightarrow B'C=2\sqrt{5}A'B'=2a\sqrt{5}\) ; \(BC=\dfrac{AB}{sin30^0}=2a\)

\(\Rightarrow BB'=\sqrt{B'C^2-BC^2}=4a\)

\(V=\dfrac{1}{2}AB.AC.BB'=2a^3\sqrt{3}\)

Gọi M là trung điểm SA và O là tâm đáy \(\Rightarrow AO=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\) ; \(AM=\dfrac{a}{2}\)

Qua O kẻ đường thẳng d song song SA, trong mặt phẳng (SAO) qua M kẻ đường thẳng song song AO cắt d tại I

\(\Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp

\(R=IA=\sqrt{IM^2+AM^2}=\sqrt{AO^2+AM^2}=\dfrac{a\sqrt{21}}{6}\)

Link tham khảo : Cho hình chóp (S.ABCD ) có đáy (ABCD ) là hình thoi cạnh (a ).

P/s: Giá như tui ko ngu hình ko gian và ko lười làm nó thì có lẽ tui đã làm được hic :(

c

Ta có: \(AH=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}\)

Áp dụng Pitago cho tam giác vuông AHA':

\(A'H=\sqrt{A'A^2-AH^2}=\frac{3a}{2}\)

\(S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\) (diện tích tam giác đều cạnh a)

\(\Rightarrow V=S_{ABC}.A'H=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.\frac{3a}{2}=\frac{a^3.3\sqrt{3}}{8}\)