Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông với đáy. Trên cạnh BC lấy điểm M di động và cạnh CD lấy N di động sao cho góc MAN=45 độ. Gọi BM=x, DN=y và (0<x;y<a)
Chứng minh a(x+y)=a2-xy
CHo hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB =CB =2, AC = 1. Mặt phẳng (P) cắt các đường thằng AA',BB',CC' lần lượt tại M, N, P sao cho tam giác MNP là tam giác đều. Gọi alpha là góc tạo bởi (P) và (ABC). Khi đó alpha bằng
Bài toán thú vị nhỉ.
Do có vô số mp (P) thỏa mãn (là tất cả các mp song song với 1 mặt phẳng gốc) nên ta dựng mp (P) đặc biệt 1 chút để dễ tính toán và dựng hình (khỏi phải lấy nhiều điểm phụ): chọn vị trí (P) sao cho N trùng B
Gọi Q là trung điểm AC.
Do tam giác MBP đều \(\Rightarrow BM=BP\)
Mà \(AB=BC\Rightarrow\Delta_vABM=\Delta_vCBP\) (ch-gn)
\(\Rightarrow AM=CP\)
Nếu M và P nằm cùng phía so với mp (ABC) \(\Rightarrow ACPM\) là hcn \(\Rightarrow MP=AC\)
Mà MBP đều \(\Rightarrow AC=MP=BM>AB\) (cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông) vô lý do AC=1 còn AB=2
Do đó M và P phải nằm khác phía so với mp (ABC)
AM và CP song song và bằng nhau nên AMCP là hình bình hành \(\Rightarrow\) Q đồng thời là trung điểm MP
\(\Rightarrow BQ\perp MP\) , mà \(BQ\perp AC\) \(\Rightarrow BQ\perp\left(AMCP\right)\)
Mà BQ là giao tuyến (ABC) và (P) \(\Rightarrow\widehat{MQA}=\alpha\)
\(BQ=\sqrt{AB^2-\left(\dfrac{AC}{2}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{15}}{2}\)
Mà \(BQ=\dfrac{MP\sqrt{3}}{2}\Rightarrow MP=\sqrt{5}\) \(\Rightarrow MQ=\dfrac{1}{2}MP=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)
\(cos\alpha=\dfrac{AQ}{MQ}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\Rightarrow\alpha\)
Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vương, cạnh đáy bằng \(2a\sqrt{2}\) và đường chéo AC'=5a. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho
A. \(24a^3\) B. \(8a^3\) C.\(17\sqrt{2}a^3\) D.\(4a^3\)
\(AC=AB\sqrt{2}=4a\)
Áp dụng định lý Pitago:
\(CC'=\sqrt{\left(AC'\right)^2-AC^2}=3a\)
\(\Rightarrow V=3a.\left(2a\sqrt{2}\right)^2=24a^3\)
Cho hình chóp đều S ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , tâm O . Gọi M là trung điểm SA.Tính d (OM;SB) Biết (MCD) ⊥ (SAB)
Dựng hình như hình vẽ (E, P, Q, N lần lượt là trung điểm các cạnh)
\(MN||AB\Rightarrow N\in\left(MCD\right)\)
F là giao điểm MN và SE \(\Rightarrow\) F cũng là trung điểm SE
Do tính đối xứng của chóp đều \(\Rightarrow MP=NP\Rightarrow PF\perp MN\) (trung tuyến đồng thời là đường cao)
\(\Rightarrow PF\perp\left(SAB\right)\) (do MN là giao tuyến của 2 mp vuông góc)
\(\Rightarrow PF\perp SE\Rightarrow\Delta SEP\) cân tại P (PF là trung tuyến kiêm đường cao)
\(\Rightarrow\Delta SEP\) đều (do chóp đều nên SEP cũng cân tại S)
\(\Rightarrow SO=a\sqrt{3}\)
MN song song và bằng 1/2 AB (đường trung bình)
OQ song song và bằng 1/2 AB (hiển nhiên)
\(\Rightarrow MNQO\) là hbh \(\Rightarrow OM||NQ\Rightarrow OM||\left(SBC\right)\)
\(\Rightarrow d\left(OM;SB\right)=d\left(OM;\left(SBC\right)\right)=d\left(O;\left(SBC\right)\right)\)
Từ O kẻ \(OH\perp SQ\Rightarrow OH=d\left(O;\left(SBC\right)\right)\)
\(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OQ^2}+\dfrac{1}{SO^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{3a^2}\Rightarrow OH\)
Nối MN kéo dài lần lượt cắt AB và AD tại E và F
Nối A'E cắt BB' tại P, nối A'F cắt DD' tại Q
\(\Rightarrow V_H=V_{A'.AEF}-\left(V_{PBEM}+V_{QDNF}\right)\)
CM song song FD nên theo Talet: \(\dfrac{CM}{DF}=\dfrac{CN}{DN}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow DF=2CM=a\) \(\Rightarrow AF=2a\)
\(\Rightarrow\dfrac{DQ}{QD'}=\dfrac{DF}{A'D'}=1\Rightarrow DQ=\dfrac{a}{2}\)
Talet: \(\dfrac{EB}{CN}=\dfrac{BM}{CM}=1\Rightarrow BE=CN=\dfrac{a}{3}\) \(\Rightarrow AE=\dfrac{4a}{3}\)
\(\dfrac{BP}{B'P}=\dfrac{EB}{A'B'}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow BP=\dfrac{1}{3}B'P=\dfrac{1}{4}BB'=\dfrac{a}{4}\)
\(V_{A'.AEF}=\dfrac{1}{3}.AA'.\dfrac{1}{2}AE.AF=\dfrac{4a^3}{9}\)
\(V_{PBEM}=\dfrac{1}{3}BP.\dfrac{1}{2}BE.BM=\dfrac{a^3}{144}\)
\(V_{QDNF}=\dfrac{1}{3}QD.\dfrac{1}{2}DN.DF=\dfrac{a^3}{18}\)
\(\Rightarrow V_H=\dfrac{55a^3}{144}\)
Cho hình chóp đều S.ABC, có đáy là tam giác đều cạnh bằng a. gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC. Biết mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Tính thể tích của khối chóp A.BCNM.
Gọi H là trung điểm MN \(\Rightarrow SH\perp MN\)
Do chóp SABC đều \(\Rightarrow\Delta AMN\) cân tại A \(\Rightarrow AH\perp MN\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\)
\(\Rightarrow AH\perp SH\)
Nối SH kéo dài cắt BC tại P \(\Rightarrow\) P là trung điểm BC đồng thời H là trung điểm SP (Talet)
\(\Rightarrow\) AH là đường cao đồng thời là trung tuyến trong tam giác SAP
\(\Rightarrow\Delta SAP\) cân tại A
\(\Rightarrow SA=AP=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(SH=\dfrac{1}{2}\sqrt{SB^2-BP^2}=\dfrac{1}{2}\sqrt{SA^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}\)
\(MN=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{a}{2}\) ; \(HP=SH=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}\)
\(AH=\sqrt{SA^2-SH^2}=\dfrac{a\sqrt{10}}{4}\)
\(V=\dfrac{1}{3}AH.\dfrac{1}{2}\left(MN+BC\right).HP=...\)
Giúp mình mấy câu tính khoảng cách với
Cho khối chóp SABCD có đáy là hcn (SAB) , (SAD) cùng vuông góc với đáy AB=3a AD 4a , SC= 3 căn 3a . Thể tích khối chóp S. ABCD
Do (SAB), (SAD) cùng vuông góc đáy và SA là giao tuyến (SAB), (SAD)
\(\Rightarrow SA\perp\left(ABCD\right)\)
\(\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}SA.AB.AD=\dfrac{1}{3}.3a\sqrt{3}.3a.4a=12a^3\sqrt{3}\)
Gọi h là khoảng cách từ A' đến (ABC)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}V=h.S_{ABC}\\V_{A'ABC}=\dfrac{1}{3}h.S_{ABC}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow V_{A'ABC}=\dfrac{1}{3}V=\dfrac{a^3\sqrt{3}}{24}\)
\(S_{A'BC}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\) (diện tích tam giác đều)
\(\Rightarrow d\left(A;\left(A'BC\right)\right)=\dfrac{3V_{A'ABC}}{S_{A'BC}}=\dfrac{a}{2}\)
Mà ACC'C' là hình bình hành \(\Rightarrow\) AC' cắt A'C tại trung điểm AC'
\(\Rightarrow d\left(C';\left(A'BC\right)\right)=d\left(A;\left(A'BC\right)\right)=\dfrac{a}{2}\)