Cho (O), điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Gọi D, E là các điểm trên AB, AC sao cho OD⊥BE. Chứng minh OE⊥CD.

mik sửa 1 chút: vì x ở dưới mẫu nên đk là x>0 chứ ko phải ≥ 

P=\(\dfrac{x+2}{\sqrt{x}}=\dfrac{x}{\sqrt{x}}+\dfrac{2}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\dfrac{2}{\sqrt{x}}\)

Với x>0 và x≠1 nên \(\sqrt{x};\dfrac{2}{\sqrt{x}}>0\)

Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương \(\sqrt{x};\dfrac{2}{\sqrt{x}}\), ta có:

\(P\ge2\sqrt{\sqrt{x}.\dfrac{2}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{2}\)

Dấu = xảy ra khi \(\sqrt{x}=\dfrac{2}{\sqrt{x}}\Leftrightarrow x=2\left(TMĐK\right)\)

Vậy GTNN của P là \(2\sqrt{2}\) khi \(x=2\)

a) A =\(\left[\dfrac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}+\dfrac{\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right]:\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1}\right)\)

A =\(\dfrac{2\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}:\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\)

A =\(\dfrac{2\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}.\left(\sqrt{x}-1\right)\)

A =\(\dfrac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}\)

b) M =\(\dfrac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}.\dfrac{\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}+1}+\dfrac{x-\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+3}\)

M =\(1+\dfrac{x-\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+3}\)

M =\(\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{x-\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+3}\)

M =\(\dfrac{x-2}{\sqrt{x}+3}\)

M =\(\dfrac{x-9+7}{\sqrt{x}+3}\)

M =\(\dfrac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)+7}{\sqrt{x}+3}\)

M =\(\sqrt{x}-3+\dfrac{7}{\sqrt{x}+3}\)

Để \(M\in Z\) ⇒\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}\in Z\\\sqrt{x}+3\inƯ\left(7\right)\end{matrix}\right.\) 

⇒\(\left\{{}\begin{matrix}x\in\left\{0;1;4;9;16;...\right\}\\\sqrt{x}+3\in\left\{-7;-1;1;7\right\}\end{matrix}\right.\)

Vì \(\sqrt{x}+3\ge3\)

⇒ \(\sqrt{x}+3=7\)

⇔ \(\sqrt{x}=4\)

⇔ \(x=16\)

Vậy để M nguyên thì \(x=16\)

1. is better than real madrid

2. the most difficult language in the world

3. worse than jane

4. better than tom

5. is the fastest thing

6. prettiest mountain in india

7. more money than i do

8. the most interesting person i have ever met

9. is smaller than her old one

10. is the tallest student in my class

11. is cheaper than the black one

12. is the most intelligent person in my group

13. is the longest river in the world

14. in the world is higher than mount everest

15. the prettiest girl i have ever met

Bài 6: 

a) Q= \(\left[\dfrac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}-\dfrac{\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right].\left(x+\sqrt{x}\right)\) (ĐK: x ≥ 0; x ≠ \(\pm1\))

Q= \(\left[\dfrac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}-\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\right].\left(x+\sqrt{x}\right)\)

Q= \(\dfrac{x-\sqrt{x}+2\sqrt{x}-2-x-\sqrt{x}+2\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}.\left(x+\sqrt{x}\right)\)

Q= \(\dfrac{2\sqrt{x}\left(x+\sqrt{x}\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\)

Q= \(\dfrac{2x\sqrt{x}+2x}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\)

Q= \(\dfrac{2x\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\)

Q= \(\dfrac{2x}{x-1}\)

b) Q= \(\dfrac{2x}{x-1}\)

Q= \(\dfrac{x+x-1+1}{x-1}\)

Q= \(\dfrac{x-1}{x-1}+\dfrac{x+1}{x-1}\)

Q= \(1+\dfrac{x+1}{x-1}\)

Q= \(1+\dfrac{x-1+2}{x-1}\)

Q= \(2+\dfrac{2}{x-1}\)

để Q nguyên thì \(2⋮\left(x-1\right)\)

⇒ \(x-1\inƯ\left(2\right)\)

⇒ \(x-1\in\left\{-2;-1;1;2\right\}\)

vì \(x-1\ge-1\)

⇒ \(x-1\in\left\{-1;1;2\right\}\)

Cho x lần lượt bằng -1;1;2

⇒ \(x\in\left\{0;2;3\right\}\)

vậy để Q nguyên thì \(x\in\left\{0;2;3\right\}\)

1) (d) đi qua điểm (7;2)

⇒ \(2=\left(m+1\right).7+m-1\)

⇔ \(7m+7+m-1=2\)

⇔ \(8m=-4\)

⇔ \(m=-\dfrac{1}{2}\)

2) (d) cắt (d') tại điểm có hoành độ bằng 3

nên (d) cắt (d') tại điểm (3;0)

Điều kiện: m ≠ 2

Ta có phương trình hoành độ giao điểm:

\(\left(m+1\right).3+m-1=3.3-4\)

⇔ \(3m+3+m-1=5\)

⇔ \(4m=3\)

⇔ \(m=\dfrac{3}{4}\) (tm)

3) (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -3 

nên (d) cắt trục tung tại điểm (0;-3)

Ta có: \(-3=\left(m+1\right).0+m-1\)

⇔ \(m=-2\)

4) (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 5

nên (d) cắt trục hoành tại điểm (5;0)

Ta có: \(0=\left(m+1\right).5+m-1\)

⇔ \(5m+5+m-1=0\)

⇔ \(6m=-4\)

⇔ \(m=-\dfrac{2}{3}\)

Vì \(\Delta ABC\) nội tiếp (O;R) nên A, B, C thuộc đường tròn

⇒ \(OA=R=3\)

Gọi OH, OK lần lượt là khoảng cách từ O đến AB, AC

⇒ \(OH\perp AB;OK\perp AC\)

⇒ H là trung điểm AB; K là trung điểm AC (tính chất đường kính vuông góc dây cung)

Vì △AHO vuông tại H

⇒ \(OA^2=AH^2+OH^2\) (Pytago)

⇒ \(AH=\sqrt{9-8}=1\)

⇒ \(AB=1.2=2\) (H là trung điểm AB)

Tương tự với △AKO vuông tại K

⇒ \(AK=\sqrt{9-\dfrac{11}{4}}=2,5\)

⇒ \(AC=2,5.2=5\) (K là trung điểm AC)

Vậy AB=2 và AC=5

M = \(\dfrac{\sqrt{\sqrt{7}-\sqrt{3}}-\sqrt{\sqrt{7}+\sqrt{3}}}{\sqrt{\sqrt{7}-2}}\)

⇒ \(M^2=\dfrac{\left(\sqrt{\sqrt{7}-\sqrt{3}}-\sqrt{\sqrt{7}+\sqrt{3}}\right)^2}{\left(\sqrt{\sqrt{7}-2}\right)^2}\)

\(M^2=\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{3}-2\sqrt{\left(\sqrt{7}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{3}\right)}+\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-2}\)

\(M^2=\dfrac{2\sqrt{7}-2\sqrt{7-3}}{\sqrt{7}-2}\)

\(M^2=\dfrac{2\sqrt{7}-4}{\sqrt{7}-2}\)

\(M^2=\dfrac{2\left(\sqrt{7}-2\right)}{\sqrt{7}-2}\)

\(M^2=2\)

\(M=\pm\sqrt{2}\)

sau khi thử lại \(M=-\sqrt{2}\) hợp lý

Vậy ...

4) Ta có: \(x^2\ge0\)

⇔ \(-x^2\le0\)

⇔ \(4-x^2\le4\)

⇔ \(\sqrt{4-x^2}\le2\)

Dấu = xảy ra khi \(x=2\)

Vậy GTLN của A là 2 khi x=2

5) Ta có: \(\sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\)

⇒ \(cos^2\alpha=1-\dfrac{1}{4}\)

⇒ \(cos^2\alpha=\dfrac{3}{4}\)

⇒ \(\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Ta có: \(\tan\alpha=\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}\)

\(tan\alpha=\dfrac{1}{2}:\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

\(tan\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

Ta có: \(cot\alpha=\dfrac{1}{tan\alpha}\)

\(cot\alpha=\dfrac{3}{\sqrt{3}}\)

\(cot\alpha=\sqrt{3}\)