Ý tưởng của bài này là ta sẽ quy bđt về dạng 1 biến

Dễ thấy:

     \(2xy+5x+6y=100\Leftrightarrow x=\dfrac{100-6y}{2y+5}\)

Do đó:

     \(S=\dfrac{100-6y}{2y+5}+y=\dfrac{2y^2-y+100}{2y+5}\)

Ta xét:

     \(S-\left(\sqrt{230}-\dfrac{11}{2}\right)=\dfrac{\left(2y-\sqrt{230}+5\right)^2}{2}\ge0\)

Nên gtnn của S là:

     \(S_{min}=\sqrt{230}-\dfrac{11}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi:

     \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{\sqrt{230}}{2}-3\\y=\dfrac{\sqrt{230}-5}{2}\end{matrix}\right.\)

PT\(\Leftrightarrow\left(x^2-4x+5\right)+3\sqrt{x^2-4x+5}-2m-2=0\)

Đặt: \(a=x^2-4x+5\left(a\ge1\right)\)

Pt trở thành: \(a^2+3a-2m-2=0\)

Pt trên có nghiệm khi:
\(\Delta\ge0\Leftrightarrow9+4\left(2m+2\right)\ge0\Leftrightarrow m\ge-\dfrac{17}{8}\)

Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng \(\overline{abcde}\)

Do a chỉ thuộc {1;2} nên ta chia 2 trường hợp

Trường hợp a=2(b<5):

 b có 5 cách chọn

 c có 5 cách chọn

 d có 4 cách chọn

 e có 3 cách chọn

Do đó với trường hợp a=2 ta có: 5.5.4.3=300(cách)

Trường hợp a=1:

 b có 6 cách chọn

 c có 5 cách chọn

 d có 4 cách chọn

 e có 3 cách chọn

Do đó trường hợp a=1 có 6.5.4.3=360(cách)

Từ đó để lập được các số tự nhiên thõa đề có: 300+360=660(cách)

Bạn có thể kiểm tra kỹ lại, trong quá trình làm có thể có sai xót về số nhưng hướng làm thì ổn rồi

Dễ thấy: \(f\left(x\right)=\left(x+m-1\right)^2-m^2+5m-6\ge-m^2+5m-6\)

Giá trị nhỏ nhất của f(x) đạt lớn nhất tức \(-m^2+5m-6\) đạt lớn nhất

Mà \(g\left(m\right)=-m^2+5m-6=-\left(m-\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\le\dfrac{1}{4}\)

g(m) đạt lớn nhất khi m=5/2

m cần tìm là 5/2

\(y=\dfrac{2\cos x+3}{\cos x-2}=\dfrac{2\left(\cos x-2\right)+7}{\cos x-2}=2+\dfrac{7}{\cos x-2}\)

Với \(-1\le\cos x\le1\) thì:

\(2+\dfrac{7}{1-2}\le y\le2+\dfrac{7}{-1-2}\Leftrightarrow-5\le y\le-\dfrac{1}{3}\)

Dấu "=" xảy ra tại min max: 

\(x=\pi+k2\pi\left(min\right)\left(k\in Z\right)\) và \(x=l2\pi\left(max\right)\left(l\in Z\right)\)

\(1+2\sin x.\cos x=\sin x+2\cos x\)

\(\Leftrightarrow\left(2\sin x.\cos x-\sin x\right)-\left(2\cos x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2\cos x-1\right)\left(\sin x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\cos x=\dfrac{1}{2}\\\sin x=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\\x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\end{matrix}\right.\left(k\in Z\right)\)

Hàm số xác định khi \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+2mx+2018m+2019>0\\mx^2+2mx+2020\ge0\end{matrix}\right.\)

Xét \(f\left(x\right)=x^2+2mx+2018m+2019\)

Có: \(\Delta'=m^2-2018m-2019\)

Để \(f\left(x\right)>0\) thì \(\Delta'< 0\Leftrightarrow m^2-2018m-2019< 0\Leftrightarrow-1< m< 2019\)(*)

Xét \(g\left(x\right)=mx^2+2mx+2020\)

Dễ thấy \(m=0\) thì \(g\left(x\right)=\sqrt{2020}>0\)(1)

Để \(g\left(x\right)\ge0\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}m>0\\\Delta'\le0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\m^2-2020m\le0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow0< m\le2020\) (2)

 (1),(2)\(\Rightarrow g\left(x\right)\ge0\Leftrightarrow0\le m\le2020\) (**)

(*),(**) suy ra hàm số xác định khi \(0\le m< 2019\)

Do đó tập hợp các giá trị nguyên của m để hàm số xác định là:

\(S=\left\{m\in Z|0\le m< 2019\right\}\) và tập hợp có 2019 phần tử

Pt\(\Leftrightarrow x^2\left(x+1\right)^2+x^2-\left(x+1\right)^2=0\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=x\\b=x+1\end{matrix}\right.\Rightarrow b-a=1\)

Ta lập được hpt:

\(\left\{{}\begin{matrix}a^2b^2+a^2-b^2=0\\b-a=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2b^2+\left(a-b\right)\left(a+b\right)=0\\b-a=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2\left(a+1\right)^2-a-\left(a+1\right)=0\left(\cdot\right)\\b=a+1\end{matrix}\right.\)

\(\left(\cdot\right)\Leftrightarrow a^2\left(a+1\right)^2=1\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a^2+a=1\\a^2+a=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a^2+a-1=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\\a=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)

Từ đó kết luận nghiệ, của pt

Đk:\(x\ge2\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(x+2\right)\left(x-1\right)}-3\sqrt{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}=2\left(2\sqrt{x+2}-3\sqrt{x-2}\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}\left(2\sqrt{x+2}-3\sqrt{x-2}\right)=2\left(2\sqrt{x+2}-3\sqrt{x-2}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}-2\right)\left(2\sqrt{x+2}-3\sqrt{x-2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}=2\\2\sqrt{x+2}=3\sqrt{x-2}\end{matrix}\right.\)

\(\cdot\sqrt{x-1}=2\Leftrightarrow x=5\)

\(\cdot2\sqrt{x+2}=3\sqrt{x-2}\)

\(\Leftrightarrow4\left(x+2\right)=9\left(x-2\right)\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{26}{5}\)

Vậy pt có 2 nghiệm x=5 và x=26\5

Muốn giải mấy bài kiểu này thì mình hay đoán nghiệm trước

Việc đoán nghiệm thì có thể dùng kinh nghiệm hoặc bấm máy tính

Ở đây mình đoán được nghiệm là x=5/4 nên ta sẽ cố gắng tạo ra nhân tử dạng

4x-5 hoặc x-(5/4) ở đầy mình chọn nhân tử 4x-5

Trong những phương trình chứa căn thức thì để tạo nhân tử thì cách thường dùng nhất là phép liên hợp

Phép liên hợp là phép kiểu: \(\sqrt{a}-\sqrt{b}=\dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)

Ok, ta biến đổi pt lại để tạo nhân tử 4x-5:

\(\left(8\sqrt{x-1}-4\right)+\left(4x^2+3x-10\right)=0\) (ở đây ta thay x=5/4 vào 8căn(x-1) thì được 4 nên ta sẽ ghép với 4, còn phần còn lại của pt thì gộp lại chung)

\(\dfrac{4\left(2\sqrt{x-1}-1\right)\left(2\sqrt{x-1}+1\right)}{2\sqrt{x-1}+1}+\left(4x-5\right)\left(x+2\right)=0\)(sử dụng phép liên hợp)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4\left(4x-5\right)}{2\sqrt{x-1}+1}+\left(4x-5\right)\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4x-5\right)\left(\dfrac{4}{2\sqrt{x-1}+1}+x+2\right)=0\)

Ở đây thì với đk x>=1 thì ngoặc to sẽ lớn hơn 0 nên kêt luận x=5/4