Nếu uống café lại buồn ngủ thì đừng cố nạp thêm café nữa. Trường hợp này thường là do đói, tụt năng lượng, thiếu nước, hoặc cơ thể đang quá mệt nên caffeine không “gánh” nổi.

Thứ nên thử ngay bây giờ là:

Bài 10

Cho phương trình
ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn
0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ 2.

Tìm giá trị lớn nhất của
P = (8a² - 6ab + b²)/(4a² - 2ab + ca).

Lời giải

Theo định lí Vi-ét:
x1 + x2 = -b/a,
x1x2 = c/a.

Đặt
s = x1 + x2, p = x1x2.

Khi đó:
b = -as,
c = ap.

Thay vào biểu thức P:

P = [8a² - 6a(-as) + a²s²] / [4a² - 2a(-as) + a(ap)]
= [8a² + 6a²s + a²s²] / [4a² + 2a²s + a²p]
= (s² + 6s + 8)/(p + 2s + 4)

hay
P = (s + 2)(s + 4)/(p + 2s + 4).

Bây giờ ta khai thác điều kiện
0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ 2.

Vì x1, x2 ≥ 0 nên
p = x1x2 ≥ 0.

Lại có
(2 - x1)(2 - x2) ≥ 0
nên
4 - 2(x1 + x2) + x1x2 ≥ 0

tức là
4 - 2s + p ≥ 0
hay
p ≥ 2s - 4.

Do đó
p ≥ max(0, 2s - 4).

Ngoài ra,
0 ≤ s = x1 + x2 ≤ 4.

Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: 0 ≤ s ≤ 2

Khi đó max(0, 2s - 4) = 0, nên
p + 2s + 4 ≥ 2s + 4.

Suy ra
P ≤ (s + 2)(s + 4)/(2s + 4)
= (s + 4)/2
≤ (2 + 4)/2
= 3.

Vậy trong trường hợp này:
P ≤ 3.

Trường hợp 2: 2 ≤ s ≤ 4

Khi đó max(0, 2s - 4) = 2s - 4, nên
p + 2s + 4 ≥ (2s - 4) + 2s + 4 = 4s.

Suy ra
P ≤ (s + 2)(s + 4)/(4s)
= (s² + 6s + 8)/(4s).

Ta chứng minh
(s² + 6s + 8)/(4s) ≤ 13/4.

Thật vậy,
(s² + 6s + 8)/(4s) ≤ 13/4
⇔ s² + 6s + 8 ≤ 13s
⇔ s² - 7s + 8 ≤ 0.

Mà phương trình
s² - 7s + 8 = 0
có hai nghiệm
(7 - √17)/2 và (7 + √17)/2.

Khoảng [2, 4] nằm trọn giữa hai nghiệm ấy, nên với mọi s ∈ [2, 4] ta có
s² - 7s + 8 ≤ 0.

Vậy
P ≤ 13/4.

Kết hợp hai trường hợp:
P ≤ 13/4.

Ta xét dấu bằng.

Để P = 13/4, cần xảy ra ở trường hợp 2 và đồng thời:

Từ
x1 + x2 = 4,
x1x2 = 4
suy ra
x1 = x2 = 2.

Khi đó thật vậy:
P = 13/4.

Vậy giá trị lớn nhất của P là

Pmax = 13/4

đạt được khi
x1 = x2 = 2.

I studied for a few hours, worked on some tasks, and relaxed in the evening. Yesterday, I went to school, finished my homework, and watched a movie.

Xét tam giác vuông ABC vuông tại A, với góc B là góc nhọn đang xét.

Khi đó:
sin B = cạnh đối / cạnh huyền = AC / BC
cos B = cạnh kề / cạnh huyền = AB / BC
tan B = cạnh đối / cạnh kề = AC / AB
cot B = cạnh kề / cạnh đối = AB / AC

Nếu xét góc C thì:
sin C = AB / BC
cos C = AC / BC
tan C = AB / AC
cot C = AC / AB

Cách nhớ:

Ví dụ:
Tam giác vuông có
AB = 3, AC = 4, BC = 5

Với góc B:
sin B = 4/5
cos B = 3/5
tan B = 4/3
cot B = 3/4

Bài 9

Cho
(*) ax² + bx + c = 0
(**) cx² + bx + a = 0
với a > c > 0.

a) Chứng minh hai phương trình (*) và (**) cùng có nghiệm hoặc cùng vô nghiệm

Xét biệt thức của hai phương trình:

Δ1 = b² - 4ac
Δ2 = b² - 4ca = b² - 4ac

Suy ra
Δ1 = Δ2.

Vì vậy:

Vậy hai phương trình (*) và (**) cùng có nghiệm hoặc cùng vô nghiệm.

b) Giả sử (*) có nghiệm x1, x2 và (**) có nghiệm x3, x4 thỏa mãn
x1 + x2 > x3 + x4.
Chứng minh b > 0

Theo định lí Vi-ét:

Với (*):
x1 + x2 = -b/a

Với (**):
x3 + x4 = -b/c

Theo giả thiết:
-b/a > -b/c

Nhân cả hai vế với ac > 0, ta được:
-bc > -ba

hay
bc < ba

suy ra
b(c - a) < 0.

Mà a > c nên c - a < 0.
Do đó muốn b(c - a) < 0 thì phải có
b > 0.

Vậy b > 0.

c) Chứng minh nếu hai phương trình (*), (**) cùng vô nghiệm thì b < a + c

Vì hai phương trình cùng vô nghiệm nên theo câu a), ta có
b² - 4ac < 0

suy ra
b² < 4ac.

Ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: b < 0

Khi đó hiển nhiên
b < a + c
vì a + c > 0.

Trường hợp 2: b ≥ 0

Từ b² < 4ac và b ≥ 0, suy ra
b < 2√(ac).

Mặt khác, do a > c > 0 nên a ≠ c, bởi bất đẳng thức AM-GM:
a + c > 2√(ac).

Vậy
b < 2√(ac) < a + c

nên
b < a + c.

Suy ra trong mọi trường hợp, nếu hai phương trình (*) và (**) cùng vô nghiệm thì
b < a + c.

Kết luận bài 9:
a) Hai phương trình cùng có nghiệm hoặc cùng vô nghiệm.
b) b > 0.
c) Nếu cả hai cùng vô nghiệm thì b < a + c.

Trên laptop, bạn thường gửi ảnh trên OLM như này:

Bài 12

Gọi
f(x) = x^2 + 5px - 1
g(x) = x^2 + 4px - 1

Theo đề bài:
x1, x2 là hai nghiệm của f(x) = 0
x3, x4 là hai nghiệm của g(x) = 0

Ta có
f(x) = (x - x1)(x - x2)

Suy ra
f(x3) = (x3 - x1)(x3 - x2) = (x1 - x3)(x2 - x3)

Mà x3 là nghiệm của g(x) = 0 nên
x3^2 + 4px3 - 1 = 0
x3^2 = -4px3 + 1

Do đó
f(x3) = x3^2 + 5px3 - 1
= (-4px3 + 1) + 5px3 - 1
= px3

Vậy
(x1 - x3)(x2 - x3) = px3

Tiếp theo,
f(-x4) = (-x4 - x1)(-x4 - x2) = (x1 + x4)(x2 + x4)

Mà x4 là nghiệm của g(x) = 0 nên
x4^2 + 4px4 - 1 = 0
x4^2 = -4px4 + 1

Suy ra
f(-x4) = x4^2 - 5px4 - 1
= (-4px4 + 1) - 5px4 - 1
= -9px4

Vậy
(x1 + x4)(x2 + x4) = -9px4

Do đó
A = (x1 - x3)(x2 - x3)(x1 + x4)(x2 + x4)
= px3 . (-9px4)
= -9p^2x3x4

Theo Viète áp dụng cho phương trình
x^2 + 4px - 1 = 0
ta có
x3x4 = -1

Suy ra
A = -9p^2 . (-1) = 9p^2 = (3p)^2

Vậy A là một số chính phương.

Kết luận:
A = 9p^2 = (3p)^2, nên A là số chính phương.

Bài 11

Ta có
(x - 2)(x^2 - x) + (4m + 1)x - 8m - 2 = 0

Nhận thấy
(x - 2)(x^2 - x) = x(x - 1)(x - 2)

Khai triển rồi nhóm lại:
x^3 - 3x^2 + 2x + (4m + 1)x - 8m - 2 = 0
x^3 - 3x^2 + (4m + 3)x - 8m - 2 = 0

Vì thay x = 2 vào phương trình thì được 0, nên phương trình có nhân tử (x - 2).

Ta phân tích:
x^3 - 3x^2 + (4m + 3)x - 8m - 2
= (x - 2)(x^2 - x + 4m + 1)

Vậy phương trình đã cho tương đương:
(x - 2)(x^2 - x + 4m + 1) = 0

Ba nghiệm của phương trình là:
x1 = 2
x2, x3 là hai nghiệm của phương trình
x^2 - x + 4m + 1 = 0

Theo Viète:
x2 + x3 = 1
x2x3 = 4m + 1

Ta có
x2^2 + x3^2 = (x2 + x3)^2 - 2x2x3
= 1^2 - 2(4m + 1)
= 1 - 8m - 2
= -8m - 1

Điều kiện đề bài:
x1^2 + x2^2 + x3^2 = 11

Suy ra
2^2 + (-8m - 1) = 11
4 - 8m - 1 = 11
3 - 8m = 11
-8m = 8
m = -1

Kiểm tra điều kiện có ba nghiệm phân biệt:

Khi m = -1, phương trình trở thành
(x - 2)(x^2 - x - 3) = 0

Phương trình bậc hai có
Δ = 1 + 12 = 13 > 0
nên có hai nghiệm phân biệt.

Lại có 2 không là nghiệm của x^2 - x - 3 = 0 vì
2^2 - 2 - 3 = -1 khác 0

Vậy phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt.

Kết luận:
m = -1

Đặt

S = (pq)^2 + (qr)^2 + (rx)^2 + (xy)^2 + (yz)^2 + (zp)^2 = a^2.

Ta sẽ chứng minh bài toán vô nghiệm.

Bước 1. a phải là số nguyên tố lẻ

Ta có mỗi hạng tử nhỏ nhất là (2.2)^2 = 16, nên

S >= 6.16 = 96.

Vì thế a khác 2, do a^2 = 4 là quá nhỏ.
Suy ra a là số nguyên tố lẻ.

Do đó

a^2 ≡ 1 (mod 4).

Bước 2. Trong 6 hạng tử chỉ có đúng 1 hạng tử lẻ

Một hạng tử như (pq)^2 là lẻ khi và chỉ khi cả p và q đều lẻ.

Gọi k là số hạng tử lẻ trong vế trái.
Khi đó các hạng tử lẻ đều ≡ 1 (mod 4), còn các hạng tử chẵn đều ≡ 0 (mod 4), nên

S ≡ k (mod 4).

Mà S = a^2 ≡ 1 (mod 4), suy ra

k ≡ 1 (mod 4).

Vì có 6 hạng tử nên k chỉ có thể bằng 1.

Kết luận: trong chu trình

p - q - r - x - y - z - p

chỉ có đúng 1 cặp kề nhau cùng lẻ.
Tất cả các cạnh còn lại đều phải chứa số nguyên tố 2.

Bước 3. Ít nhất một trong p,q,r,x,y,z bằng 3

Giả sử không có số nào bằng 3.

Vì các số nguyên tố khác 3 khi bình phương đều ≡ 1 (mod 3), mà 2^2 = 4 ≡ 1 (mod 3), nên mỗi hạng tử trong vế trái đều ≡ 1 (mod 3).

Do đó

S ≡ 6 ≡ 0 (mod 3).

Suy ra 3 | a^2, nên 3 | a, tức là a = 3.

Nhưng khi đó a^2 = 9 < 96 <= S, vô lý.

Vậy phải có ít nhất một trong các số p,q,r,x,y,z bằng 3.

Bước 4. Xét các khả năng hình dạng

Do chỉ có đúng 1 cạnh nối hai số lẻ, nên về bản chất chỉ có 2 kiểu sắp xếp.

Kiểu 1:
Chỉ có đúng 2 số lẻ đứng cạnh nhau, 4 số còn lại đều bằng 2.

Không mất tính tổng quát, giả sử

p, q lẻ và r = x = y = z = 2.

Khi đó

S = (pq)^2 + (2q)^2 + (2.2)^2 + (2.2)^2 + (2.2)^2 + (2p)^2
= p^2 q^2 + 4q^2 + 16 + 16 + 16 + 4p^2
= p^2 q^2 + 4p^2 + 4q^2 + 48.

Theo Bước 3, một trong p,q phải bằng 3.
Giả sử p = 3.

Khi đó

S = 9q^2 + 12^2? Không, tính đúng là
S = 9q^2 + 36 + 4q^2 + 48
= 13q^2 + 84.

Lấy modulo 13:

a^2 ≡ 84 ≡ 6 (mod 13).

Nhưng các số chính phương modulo 13 chỉ có thể là

0, 1, 3, 4, 9, 10, 12,

không có 6.

Mâu thuẫn.

Vậy kiểu 1 không thể xảy ra.

Kiểu 2:
Có 3 số lẻ, trong đó chỉ có 1 cặp đứng cạnh nhau, số lẻ còn lại đứng riêng.

Không mất tính tổng quát, giả sử

p, q, x lẻ và r = y = z = 2.

Khi đó

S = (pq)^2 + (2q)^2 + (2x)^2 + (2x)^2 + (2.2)^2 + (2p)^2
= p^2 q^2 + 4q^2 + 4x^2 + 4x^2 + 16 + 4p^2
= p^2 q^2 + 4p^2 + 4q^2 + 8x^2 + 16.

Theo Bước 3, ít nhất một trong p,q,x bằng 3.

Trường hợp 2.1: p = 3 hoặc q = 3

Giả sử p = 3.

Khi đó

S = 9q^2 + 36 + 4q^2 + 8x^2 + 16
= 13q^2 + 8x^2 + 52.

Lấy modulo 13:

a^2 ≡ 8x^2 (mod 13).

Nếu x khác 13 thì x không chia hết cho 13, nên x^2 là một chính phương khác 0 modulo 13.
Suy ra 8 cũng phải là chính phương modulo 13.

Nhưng các chính phương modulo 13 là

0, 1, 3, 4, 9, 10, 12,

không có 8.

Mâu thuẫn.

Nếu x = 13 thì 13 | S nên 13 | a, suy ra a = 13.
Nhưng khi đó

S = 13q^2 + 8.13^2 + 52 > 13^2 = 169,

vô lý.

Vậy không thể có p = 3 hoặc q = 3.

Trường hợp 2.2: x = 3

Khi đó

S = p^2 q^2 + 4p^2 + 4q^2 + 88.

Xét modulo p^2 + 4.

Vì

p^2 ≡ -4 (mod p^2 + 4),

nên

p^2 q^2 + 4q^2 = q^2(p^2 + 4) ≡ 0 (mod p^2 + 4),

và

4p^2 + 88 ≡ -16 + 88 = 72 (mod p^2 + 4).

Do đó

a^2 ≡ 72 (mod p^2 + 4). (1)

Bây giờ ta chứng minh 72 không thể là số chính phương modulo p^2 + 4.

Đặt

N = p^2 + 4.

Vì p lẻ nên

N ≡ 5 (mod 8).

Lấy d là một ước nguyên tố lẻ của N.
Ta có

p^2 ≡ -4 (mod d),

suy ra

(p/2)^2 ≡ -1 (mod d).

Vậy -1 là chính phương modulo d, nên

d ≡ 1 (mod 4).

Do đó mọi ước nguyên tố của N đều có dạng 1 hoặc 5 modulo 8.

Mà N ≡ 5 (mod 8), nên trong các ước nguyên tố của N phải có ít nhất một ước nguyên tố d thỏa

d ≡ 5 (mod 8).

Với d như vậy, số 2 không là chính phương modulo d.

Nhưng

72 = 2.6^2.

Nếu 72 là chính phương modulo d thì chia cho 6^2 ta suy ra 2 cũng là chính phương modulo d, vô lý.

Vậy 72 không là chính phương modulo d, nên càng không thể là chính phương modulo N = p^2 + 4.

Điều này mâu thuẫn với (1).

Vậy trường hợp x = 3 cũng không thể xảy ra.

Kết luận

Cả hai kiểu đều dẫn đến mâu thuẫn.

Do đó không tồn tại các số nguyên tố p,q,r,x,y,z,a thỏa mãn

(pq)^2 + (qr)^2 + (rx)^2 + (xy)^2 + (yz)^2 + (zp)^2 = a^2.

Vậy bài toán vô nghiệm.

Trong nền văn học Việt Nam thời kì kháng chiến chống Mĩ, những trang nhật kí không chỉ là ghi chép đời thường mà còn là nơi lưu giữ chân thực nhất tâm hồn, lí tưởng và vẻ đẹp của một thế hệ sống hết mình cho Tổ quốc. Nhật kí tuổi hai mươi của Nguyễn Văn Thạc và Nhật kí Đặng Thùy Trâm là hai tác phẩm như thế. Hai đoạn trích đã để lại nhiều xúc động bởi cùng viết về tuổi trẻ trong chiến tranh, nhưng mỗi đoạn lại mang một sắc thái riêng, góp phần làm nổi bật vẻ đẹp tâm hồn của con người Việt Nam thời chống Mĩ.

Trước hết, xét về giá trị nội dung, cả hai đoạn trích đều gặp nhau ở cảm hứng ngợi ca lí tưởng sống cao đẹp của thế hệ trẻ trong chiến tranh. Ở đoạn trích của Nguyễn Văn Thạc, niềm vui sướng, tự hào, xúc động của người thanh niên khi khoác lên mình bộ quân phục màu xanh đã cho thấy sự lựa chọn đầy ý thức và tự nguyện của tuổi trẻ đối với con đường ra trận. Từ một “anh sinh viên quen màu trắng áo”, nhân vật trữ tình đã “trút bỏ” đời sống cũ để đón nhận màu xanh của quân ngũ. Đó không chỉ là sự thay đổi về trang phục mà còn là sự chuyển biến lớn lao về nhận thức, lí tưởng và trách nhiệm công dân. Màu xanh quân phục hiện lên như biểu tượng của ước mơ, hi vọng, của sự sống bất diệt. Qua đó, đoạn trích đã thể hiện vẻ đẹp của lòng yêu nước, tinh thần dấn thân và khát vọng cống hiến của người trí thức trẻ trong thời đại chiến tranh.

Cũng viết về con người trong kháng chiến, nhưng đoạn trích trong Nhật kí Đặng Thùy Trâm lại nghiêng nhiều hơn về vẻ đẹp của tình đồng chí, đồng đội, tình thương yêu giữa những người cách mạng. Trong giây phút “ngồi bên em, cầm bàn tay em ấm nóng thương yêu”, tác giả không chỉ bộc lộ nỗi xót xa, lo lắng trước sự sống mong manh của đồng đội mà còn khẳng định một tình cảm lớn lao, sâu nặng giữa những con người cùng chung lí tưởng. Nỗi đau đớn khi nghĩ tới khả năng mất mát cho thấy chiến tranh vô cùng khốc liệt, nhưng chính trong hoàn cảnh ấy, tình người lại càng tỏa sáng. Câu hỏi cảm thán “Tại sao những người cách mạng lại có thể thương nhau đến mức ấy nhỉ?” chính là sự ngỡ ngàng, xúc động trước vẻ đẹp thiêng liêng của tình đồng đội. Nếu Nguyễn Văn Thạc làm hiện lên vẻ đẹp của lí tưởng lên đường, thì Đặng Thùy Trâm lại làm sáng rõ vẻ đẹp của tình thương yêu, của trái tim nhân hậu trong bom đạn chiến tranh.

Bên cạnh điểm gặp gỡ ấy, mỗi đoạn trích còn có nét riêng trong nội dung biểu đạt. Đoạn trích của Nguyễn Văn Thạc thiên về cảm xúc hào hùng, lãng mạn, thể hiện niềm say mê và tự hào của tuổi trẻ khi được đứng vào hàng ngũ chiến đấu. Ở đó, ta thấy nổi bật chất lí tưởng và khí thế của người thanh niên trí thức ra trận. Trong khi đó, đoạn trích của Đặng Thùy Trâm mang giọng điệu trầm lắng, da diết hơn, tập trung khắc họa chiều sâu tình cảm con người. Nếu một bên nghiêng về cảm hứng sử thi và vẻ đẹp của sự hiến dâng, thì một bên thiên về chất nhân văn và vẻ đẹp của tình thương trong chiến tranh. Chính sự khác biệt ấy đã làm phong phú thêm bức tranh tâm hồn của thế hệ trẻ Việt Nam thời chống Mĩ.

Về giá trị nghệ thuật, cả hai đoạn trích đều mang đặc trưng của thể kí, cụ thể là nhật kí: chân thực, tự nhiên, giàu cảm xúc cá nhân. Cả hai đều được viết từ những rung động trực tiếp của người trong cuộc nên lời văn không cầu kì mà rất thật, rất gần. Chính sự chân thành ấy đã tạo nên sức lay động mạnh mẽ. Đồng thời, ở cả hai đoạn, ngôn ngữ đều giàu hình ảnh, giàu chất trữ tình, thể hiện khả năng quan sát tinh tế và đời sống nội tâm sâu sắc của người viết.

Tuy nhiên, mỗi đoạn trích lại có những nét nghệ thuật riêng biệt. Trong đoạn trích của Nguyễn Văn Thạc, nghệ thuật nổi bật là việc sử dụng hình ảnh mang tính biểu tượng. “Màu xanh” của quân phục được nhắc đi nhắc lại nhiều lần, vừa là màu áo lính, vừa gợi màu của núi đồi, thảo nguyên, của ước mơ, hi vọng và sức sống bất diệt. Hình ảnh “ngôi sao” trên mũ cũng không chỉ là chi tiết tả thực mà còn là biểu tượng của lí tưởng chiến đấu, của ánh sáng cách mạng. Cách liên tưởng rộng mở, giàu chất thơ đã khiến đoạn văn mang âm hưởng hào sảng, lãng mạn. Giọng điệu của đoạn trích tha thiết mà bay bổng, vừa có nét trẻ trung, mơ mộng của tuổi hai mươi, vừa có vẻ trang trọng, thiêng liêng trước bước ngoặt lớn của cuộc đời.

Trong khi đó, đoạn trích của Đặng Thùy Trâm lại nổi bật ở giọng điệu tâm tình, đằm sâu và xúc động. Ngôn ngữ giản dị mà giàu sức gợi, đặc biệt là việc sử dụng hàng loạt từ ngữ biểu cảm như “xót xa”, “thương yêu”, “đau đớn”, “ấm áp” đã diễn tả chân thật những rung động mãnh liệt của trái tim người viết. Hình ảnh so sánh “một tình thương sâu thẳm và mênh mông như biển cả”, “trào dâng như những đợt sóng bạc đầu” làm cho tình cảm đồng chí, đồng đội hiện lên vừa cụ thể vừa lớn lao, có chiều sâu và sức lan tỏa mạnh mẽ. Nếu lời văn của Nguyễn Văn Thạc giàu chất lãng mạn và khát vọng lên đường, thì lời văn của Đặng Thùy Trâm lại thấm đẫm chất nữ tính, nhân hậu và chất thơ của tình người.

Từ hai đoạn trích, có thể thấy cả Nguyễn Văn Thạc và Đặng Thùy Trâm đều là những cây bút nhật kí giàu cảm xúc, giàu lí tưởng. Họ đã viết bằng chính máu, nước mắt và niềm tin của mình, nên mỗi câu chữ đều có sức nặng của sự thật đời sống và sức lay động của tâm hồn. Hai đoạn trích không chỉ giúp người đọc hiểu hơn về chiến tranh mà còn làm sáng lên vẻ đẹp của thế hệ trẻ Việt Nam: sống có lí tưởng, giàu trách nhiệm, giàu yêu thương và sẵn sàng hi sinh vì đất nước.

Tóm lại, hai đoạn trích trong Nhật kí tuổi hai mươi và Nhật kí Đặng Thùy Trâm đều có giá trị lớn cả về nội dung lẫn nghệ thuật. Nếu đoạn trích của Nguyễn Văn Thạc nổi bật ở vẻ đẹp hào hùng, lãng mạn của tuổi trẻ lên đường theo tiếng gọi Tổ quốc, thì đoạn trích của Đặng Thùy Trâm lại gây xúc động bởi vẻ đẹp sâu thẳm của tình thương giữa những người cách mạng. Đặt cạnh nhau, hai đoạn trích đã bổ sung cho nhau để cùng khắc họa chân dung tinh thần đẹp đẽ của một thế hệ thanh niên Việt Nam trong chiến tranh: sống lí tưởng, giàu tình yêu thương và bất tử cùng non sông đất nước.