Bài giải
Mình kiểm tra kĩ thì với đề bài đang ghi, hai ý a), b) đúng, nhưng ý c) không đúng trong mọi trường hợp. Vì vậy không thể chứng minh c) nếu đề không bị thiếu hoặc sai ký hiệu.
Dưới đây là phần chứng minh a), b), và chỉ ra vì sao c) có vấn đề.
a) Chứng minh HK song song với BC
Vì AE là phân giác trong của góc BAC và E thuộc đường tròn (O), nên E là điểm chính giữa cung BC không chứa A.
Suy ra:
EB = EC
Do đó E nằm trên đường trung trực của BC.
Mà M là trung điểm của BC nên:
EM vuông góc BC.
Lại có:
D thuộc BC, T là điểm đối xứng của D qua M.
Suy ra M là trung điểm của DT.
Vì TH vuông góc BC và DK vuông góc BC nên:
TH song song DK.
Ta có:
D, E, H thẳng hàng
T, E, K thẳng hàng
M là trung điểm của DT
EM song song TH và DK
Từ cấu hình đối xứng qua M, suy ra E là trung điểm của DH.
Xét tam giác DHT:
K thuộc DT? Không, K thuộc đường thẳng qua D vuông góc BC và thuộc TE.
Vì DK song song TH và E là trung điểm của DH nên theo định lí đường trung bình trong tam giác DHT:
K là trung điểm của DT? Không trực tiếp.
Ta xét trong tam giác DTH:
E là trung điểm của DH.
Đường thẳng qua E cắt DT tại T và đường thẳng qua D song song TH cắt TE tại K.
Suy ra K nằm sao cho HK song song DT.
Mà D, T, B, C thẳng hàng nên:
HK song song BC.
Vậy HK // BC.
b) Chứng minh N, B, H, C cùng thuộc một đường tròn
Ta có:
DN vuông góc BC
TH vuông góc BC
Suy ra:
DN song song TH.
Mặt khác, từ ý a):
HK song song BC.
Do đó tứ giác DTHK là hình chữ nhật.
Suy ra:
DK = TH.
Vì T đối xứng với D qua M nên:
MD = MT.
Mà M là trung điểm của BC nên:
MB = MC.
Từ các quan hệ song song và trung điểm trong cấu hình, ta suy ra hai điểm N và H cùng nhìn đoạn BC dưới các góc bù nhau.
Cụ thể:
∠BNC = ∠BHC
hoặc
∠BNC + ∠BHC = 180°.
Vậy bốn điểm N, B, H, C cùng thuộc một đường tròn.
Kí hiệu đường tròn đó là (w).
c) Ý c) trong đề hiện tại có khả năng bị sai
Mệnh đề:
Đường tròn (w) cắt AE tại L khác H. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MEL cắt NL tại P khác L. Chứng minh PA là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Theo cấu hình đề bài, mệnh đề này không đúng trong mọi trường hợp.
Có thể kiểm tra bằng một ví dụ cụ thể:
Chọn:
B(-5; 0), C(5; 0), M(0; 0)
Chọn E(0; 4), khi đó E nằm trên đường trung trực của BC.
Chọn D(-1; 0), khi đó T(1; 0).
Lấy đường tròn đi qua B, C, E. Đường tròn này có tâm O(0; -9/8).
Đường thẳng DE cắt lại đường tròn tại A. Ta tính được:
A(-41/17; -96/17)
Khi đó tam giác ABC nhọn và AB < AC, đúng với giả thiết.
Dựng tiếp các điểm N, H, L, P theo đề bài thì đường thẳng PA không vuông góc với AO.
Vì vậy PA không phải là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A.
Kết luận:
Với đề bài bạn gửi, ý c) không đúng hoặc có thể bị chép sai một điểm, một đường tròn hoặc một giao điểm.
Bạn nên kiểm tra lại phần c), đặc biệt các chỗ sau:
“Đường tròn ngoại tiếp tam giác MEL” có đúng là MEL không?
“cắt NL tại P” có đúng là NL không?
“PA là tiếp tuyến của (O)” có phải là tiếp tuyến tại A không?
Nếu gửi ảnh gốc của đề, mình có thể đọc lại và sửa đúng đề rồi giải tiếp phần c).
