Bài giải

Gọi số lớn là x, số bé là y.

Theo đề bài ta có:
x + y = 17,5

Khi thêm vào số lớn 0,5 đơn vị và bớt ở số bé 1,5 đơn vị thì số bé bằng 2/3 số lớn, nên:
y - 1,5 = 2/3 (x + 0,5)

Từ x + y = 17,5 suy ra:
y = 17,5 - x

Thay vào phương trình trên:
17,5 - x - 1,5 = 2/3 (x + 0,5)
16 - x = 2/3 x + 1/3

Nhân cả hai vế với 3:
48 - 3x = 2x + 1
47 = 5x
x = 9,4

Khi đó:
y = 17,5 - 9,4 = 8,1

Bài giải

Gọi E thuộc cạnh BC sao cho CE = 4 cm.

Vì ABCD là hình bình hành nên:
AB = CD = 15 cm
AD = BC = 6 cm

Suy ra:
BE = BC - CE = 6 - 4 = 2 cm

Lại có:
AB // CD
AD // BC
A, B, F thẳng hàng
D, E, F thẳng hàng

a) Tìm các cặp tam giác đồng dạng

Xét tam giác FBE và tam giác FAD:

Ta có:
góc FBE = góc FAD
(vì FB cùng phương với FA, BE // AD)

góc FEB = góc FDA
(vì FE cùng phương với FD, EB // DA)

Suy ra:
tam giác FBE đồng dạng tam giác FAD

Xét tam giác CED và tam giác DAF:

Ta có:
góc CED = góc ADF
(vì CE // AD, ED cùng phương với DF)

góc CDE = góc AFD
(vì CD // AF, DE cùng phương với DF)

Suy ra:
tam giác CED đồng dạng tam giác DAF

Từ hai kết quả trên, suy ra thêm:
tam giác FBE đồng dạng tam giác CED

Vậy các cặp tam giác đồng dạng là:
tam giác FBE đồng dạng tam giác FAD
tam giác CED đồng dạng tam giác DAF
tam giác FBE đồng dạng tam giác CED

b) Tính độ dài AF

Từ tam giác FBE đồng dạng tam giác FAD, ta có:
BE/AD = BF/AF

Thay số:
2/6 = BF/AF
BF/AF = 1/3

Suy ra:
BF = AF/3

Vì F nằm trên tia AB nên B nằm giữa A và F, do đó:
AF = AB + BF

Thay BF = AF/3 vào:
AF = 15 + AF/3

Nhân cả hai vế với 3:
3AF = 45 + AF
2AF = 45
AF = 45/2 = 22,5 cm

Vậy AF = 22,5 cm.

c) Chứng minh các đẳng thức

Trước hết, em xin lưu ý:
Đẳng thức “CD . DA = EF . EC” trong đề không đúng với dữ kiện bài toán.
Hệ thức đúng phải là:
CD . DA = AF . EC

Sau đây là chứng minh đầy đủ.

Chứng minh EC . DF = DA . DE

Từ tam giác CED đồng dạng tam giác DAF, ta có:
CE/DA = DE/DF

Nhân chéo:
CE . DF = DA . DE

Đpcm.

Chứng minh CD . DA = AF . EC

Cũng từ tam giác CED đồng dạng tam giác DAF, ta có:
CD/AF = CE/DA

Nhân chéo:
CD . DA = AF . EC

Đpcm.

Kết luận:
a) Các cặp tam giác đồng dạng:
tam giác FBE đồng dạng tam giác FAD
tam giác CED đồng dạng tam giác DAF
tam giác FBE đồng dạng tam giác CED

b) AF = 22,5 cm

c) Chứng minh được:
EC . DF = DA . DE

Và hệ thức đúng là:
CD . DA = AF . EC

Chưa đúng em nhé.

888 x 888 = 788544

Bài giải

Ta có:
BD = 3DC

Suy ra:
BC = BD + DC = 3DC + DC = 4DC

Nên
BD/BC = 3/4

Hai tam giác ABD và ABC có chung chiều cao kẻ từ A xuống đường thẳng BC, nên tỉ số diện tích bằng tỉ số hai đáy:

S_ABD / S_ABC = BD / BC = 3/4

Do S_ABC = 80 cm2 nên

S_ABD = 3/4 . 80 = 60 cm2

Lại có:
AE = 1/2 AD

Nên E là trung điểm của AD.

Hai tam giác ABE và ABD có chung chiều cao kẻ từ B xuống đường thẳng AD, nên:

S_ABE / S_ABD = AE / AD = 1/2

Vậy

S_ABE = 1/2 . 60 = 30 cm2

Đáp số: 30 cm2

Bài 2

Xét tích:

20 x 21 x 22 x 23 x ... x 48 x 49 x 50

Muốn biết tích tận cùng có mấy chữ số giống nhau, ta xét số chữ số 0 ở cuối tích.

Mỗi chữ số 0 tạo bởi một cặp:
2 x 5 = 10

Trong tích trên, thừa số 2 có rất nhiều, nên ta chỉ cần đếm số thừa số 5.

Các số từ 20 đến 50 chia hết cho 5 là:
20, 25, 30, 35, 40, 45, 50

Có 7 số.

Nhưng 25 và 50 còn cho thêm một thừa số 5 nữa:
25 = 5 x 5
50 = 2 x 5 x 5

Vậy tổng số thừa số 5 là:
7 + 2 = 9

Suy ra tích có 9 chữ số 0 ở cuối.

Đáp số: Tích tận cùng là 9 chữ số giống nhau, đó là 9 chữ số 0.

Bài 3

Gọi số phải tìm là:
10a + b
trong đó a là chữ số hàng chục, b là chữ số hàng đơn vị.

Theo đề bài:
Tổng hai chữ số nhỏ hơn số đó 6 lần, nên ta có:
a + b = (10a + b) / 6

Suy ra:
10a + b = 6a + 6b
4a = 5b

Vì a, b là chữ số nên từ 4a = 5b ta thấy a chia hết cho 5.
Mà a là chữ số hàng chục khác 0, nên a = 5.

Khi đó:
4 x 5 = 5b
20 = 5b
b = 4

Vậy số cần tìm là 54.

Kiểm tra điều kiện thứ hai:
Tích hai chữ số là:
5 x 4 = 20

Thêm 25 đơn vị:
20 + 25 = 45

45 đúng là số viết ngược của 54.

Vậy số phải tìm là 54.

Đáp số:
Bài 2: 9 chữ số 0
Bài 3: 54

Bài giải

Có tất cả 30 thẻ, nên số phần tử của không gian mẫu là:

n(Ω) = 30

Các số từ 1 đến 30 có chữ số tận cùng là 3 là:
3; 13; 23

Vậy số kết quả thuận lợi là:
n(A) = 3

Xác suất của biến cố A là:
P(A) = 3/30 = 1/10

Các số lẻ từ 1 đến 30 là:
1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19; 21; 23; 25; 27; 29

Có 15 số lẻ, nên:
n(B) = 15

Xác suất của biến cố B là:
P(B) = 15/30 = 1/2

Đáp số:
a) 1/10
b) 1/2

Ta có

|x^2|2x-1|| = x^2|2x-1|

vì x^2 ≥ 0 và |2x-1| ≥ 0.

Do đó phương trình đã cho trở thành

x^2|2x-1| = x^2 + 3. (1)

Vì vế phải luôn dương nên x khác 0.

Chia cả hai vế của (1) cho x^2 > 0, ta được

|2x-1| = 1 + 3/x^2 > 1.

Suy ra

2x-1 > 1 hoặc 2x-1 < -1

tức là

x > 1 hoặc x < 0.

Xét từng trường hợp:

Trường hợp 1: x < 0

Khi đó |2x-1| = 1-2x.

Thay vào (1):

x^2(1-2x) = x^2 + 3
x^2 - 2x^3 = x^2 + 3
-2x^3 = 3
x^3 = -3/2
x = -căn bậc ba của 3/2.

Trường hợp 2: x > 1

Khi đó |2x-1| = 2x-1.

Thay vào (1):

x^2(2x-1) = x^2 + 3
2x^3 - x^2 = x^2 + 3
2x^3 - 2x^2 - 3 = 0
2x^2(x-1) = 3.

Phương trình này có đúng 1 nghiệm với x > 1 vì hàm số
f(x) = 2x^2(x-1)
tăng trên khoảng (1; +∞).

Lại có
f(1) = 0 < 3, f(2) = 8 > 3

nên nghiệm đó nằm trong khoảng (1; 2).

Thử gần đúng:
x = 1,5919 thì 2x^2(x-1) ≈ 3.

Vậy nghiệm dương là x ≈ 1,5919.

Kết luận:

x = -căn bậc ba của 3/2
hoặc
x ≈ 1,5919.

C3. Lập phương trình chính tắc của elip, biết elip đi qua hai điểm M(2 ; -√2) và N(-√6 ; 1)

Giả sử elip có phương trình chính tắc:
x²/a² + y²/b² = 1
với a > b > 0

Vì M(2 ; -√2) thuộc elip nên:
2²/a² + (-√2)²/b² = 1
4/a² + 2/b² = 1 (1)

Vì N(-√6 ; 1) thuộc elip nên:
(-√6)²/a² + 1²/b² = 1
6/a² + 1/b² = 1 (2)

Đặt:
u = 1/a², v = 1/b²

Khi đó hệ trở thành:
4u + 2v = 1
6u + v = 1

Từ phương trình thứ hai:
v = 1 - 6u

Thế vào phương trình thứ nhất:
4u + 2(1 - 6u) = 1
4u + 2 - 12u = 1
-8u = -1
u = 1/8

Suy ra:
1/a² = 1/8
a² = 8

Lại có:
v = 1 - 6.1/8 = 1 - 3/4 = 1/4

Suy ra:
1/b² = 1/4
b² = 4

Vậy phương trình elip là:
x²/8 + y²/4 = 1

Kết luận:
Phương trình chính tắc của elip là
x²/8 + y²/4 = 1

C4. Tính góc giữa hai đường thẳng

Δ₁: x + 3y + 2 = 0
Δ₂: 3x - y + 1 = 0

Đưa về dạng hệ số góc:

Δ₁: x + 3y + 2 = 0
=> 3y = -x - 2
=> y = -1/3 x - 2/3

Vậy hệ số góc của Δ₁ là:
m₁ = -1/3

Δ₂: 3x - y + 1 = 0
=> y = 3x + 1

Vậy hệ số góc của Δ₂ là:
m₂ = 3

Ta có:
m₁.m₂ = (-1/3).3 = -1

Suy ra:
Δ₁ vuông góc Δ₂

Vậy góc giữa hai đường thẳng là:
90°