Bài giải
a) Chứng minh tứ giác ABDE nội tiếp và xác định tâm I, suy ra DE song song MN
Vì AD vuông góc BC nên góc ADB = 90 độ.
Vì BE vuông góc AC nên góc AEB = 90 độ.
Suy ra góc ADB = góc AEB, nên bốn điểm A, B, D, E cùng thuộc một đường tròn.
Do góc ADB và góc AEB đều chắn đoạn AB và đều bằng 90 độ, nên AB là đường kính của đường tròn đi qua A, B, D, E.
Vậy tâm I của đường tròn này là trung điểm của AB.
Bây giờ chứng minh DE song song MN.
Vì A, D, N thẳng hàng nên góc giữa DN và NM chính là góc ANM.
Vì B, E, M thẳng hàng nên góc ABM là góc ABE.
Trên đường tròn (O), hai góc ANM và ABM cùng chắn cung AM nên:
góc ANM = góc ABM.
Suy ra:
góc DNM = góc ABE.
Mặt khác, trong tứ giác nội tiếp ABDE, hai góc ABE và ADE cùng chắn cung AE nên:
góc ABE = góc ADE.
Do đó:
góc DNM = góc ADE.
Mà D, A, N thẳng hàng nên hai góc này là hai góc so le trong tạo bởi đường thẳng AD với hai đường NM và DE.
Suy ra:
DE song song MN.
Vậy:
Tứ giác ABDE nội tiếp.Tâm I là trung điểm của AB.DE song song MN.b) Kẻ đường kính CK của (O). Chứng minh AKBH là hình bình hành và suy ra H, I, K thẳng hàng
Vì CK là đường kính của (O), nên:
góc CAK = 90 độ và góc CBK = 90 độ.
Mà BH vuông góc AC nên BH song song AK.
Lại có AH vuông góc BC nên AH song song BK.
Vậy tứ giác AKBH có hai cặp cạnh đối song song, nên AKBH là hình bình hành.
Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Hai đường chéo của hình bình hành AKBH là AB và KH.
Ở câu a), I là trung điểm của AB.
Vì vậy I cũng nằm trên KH.
Suy ra ba điểm H, I, K thẳng hàng.
c) Trong trường hợp góc BCA = 60 độ. Chứng minh DE = 1/2 AB và tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung nhỏ DE và dây DE của đường tròn tâm I theo R
Trước hết ta tính góc DAE.
Vì AD vuông góc BC nên góc giữa AD và AC bằng:
90 độ - góc BCA = 90 độ - 60 độ = 30 độ.
Mà E thuộc AC nên AE cùng phương AC.
Do đó:
góc DAE = 30 độ.
Trong đường tròn tâm I đi qua A, B, D, E, góc DAE là góc nội tiếp chắn cung DE.
Vậy góc DIE là góc ở tâm chắn cùng cung ấy, nên:
góc DIE = 2 lần góc DAE = 60 độ.
Gọi bán kính đường tròn tâm I là r.
Vì AB là đường kính của đường tròn này nên:
r = AB/2.
Độ dài dây DE ứng với góc ở tâm 60 độ là:
DE = 2r.sin(60/2) = 2r.sin30 độ = 2r.1/2 = r.
Mà r = AB/2, nên:
DE = AB/2.
Tiếp theo, do tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R), ta có:
AB = 2R.sin góc ACB = 2R.sin60 độ = căn 3 nhân R.
Suy ra:
r = AB/2 = căn 3 nhân R / 2.
Diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung nhỏ DE và dây DE bằng:
diện tích quạt tròn DIE trừ diện tích tam giác DIE.
Vì góc DIE = 60 độ nên:
diện tích quạt DIE = (60/360).pi.r bình phương = pi.r bình phương / 6.
Tam giác DIE có ID = IE = r và góc DIE = 60 độ nên là tam giác đều cạnh r.
Vậy:
diện tích tam giác DIE = căn 3 . r bình phương / 4.
Do đó diện tích hình viên phân là:
S = pi.r bình phương / 6 - căn 3 . r bình phương / 4.
Thay r bình phương = (căn 3 R / 2) bình phương = 3R bình phương / 4, ta được:
S = pi.(3R bình phương / 4)/6 - căn 3.(3R bình phương / 4)/4
= pi.R bình phương / 8 - 3 căn 3 R bình phương / 16.
Vậy:
S = (2pi - 3 căn 3)R bình phương / 16.
Kết luận:
a) Tứ giác ABDE nội tiếp đường tròn đường kính AB, tâm I là trung điểm AB, và DE song song MN.
b) Tứ giác AKBH là hình bình hành, suy ra H, I, K thẳng hàng.
c) Nếu góc BCA = 60 độ thì:
DE = AB/2
và diện tích hình viên phân cần tìm là:
(2pi - 3 căn 3)R bình phương / 16.
