Câu 3

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a căn 2 và SA vuông góc với mặt đáy.
M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD.
Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (AMN).

Ta sẽ chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (AMN).

Thật vậy:

Vì M là hình chiếu của A lên SB nên:
AM vuông góc SB

Mặt khác:
BC vuông góc AB
và BC vuông góc SA

Do AB và SA cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng (SAB), suy ra:
BC vuông góc mặt phẳng (SAB)

Mà AM nằm trong mặt phẳng (SAB), nên:
BC vuông góc AM

Vậy trong mặt phẳng (SBC), ta có:
AM vuông góc SB và AM vuông góc BC

Suy ra:
AM vuông góc mặt phẳng (SBC)

Do đó:
AM vuông góc SC

Tương tự, vì N là hình chiếu của A lên SD nên:
AN vuông góc SD

Lại có:
CD vuông góc AD
và CD vuông góc SA

Suy ra:
CD vuông góc mặt phẳng (SAD)

Mà AN nằm trong mặt phẳng (SAD), nên:
CD vuông góc AN

Vậy trong mặt phẳng (SCD), ta có:
AN vuông góc SD và AN vuông góc CD

Suy ra:
AN vuông góc mặt phẳng (SCD)

Do đó:
AN vuông góc SC

Vì SC vuông góc với hai đường thẳng AM và AN cắt nhau trong mặt phẳng (AMN), nên:
SC vuông góc mặt phẳng (AMN)

Vậy góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (AMN) là góc bù phụ với góc giữa SB và SC, tức là:
góc(SB, (AMN)) = 90 độ - góc BSC

Ta tính góc BSC trong tam giác SBC.

Có:
SB² = SA² + AB² = 2a² + a² = 3a²
nên SB = a căn 3

Lại có:
AC = a căn 2

SC² = SA² + AC² = 2a² + 2a² = 4a²
nên SC = 2a

Và:
BC = a

Áp dụng định lí cosin trong tam giác SBC:
cos góc BSC = (SB² + SC² - BC²) / (2.SB.SC)
= (3a² + 4a² - a²) / (2.a căn 3.2a)
= 6a² / (4a² căn 3)
= căn 3 / 2

Suy ra:
góc BSC = 30 độ

Vậy:
góc(SB, (AMN)) = 90 độ - 30 độ = 60 độ

Câu 2

Cho hình hộp ABCDA'B'C'D' có tất cả các cạnh bằng 1 và các góc phẳng ở đỉnh A đều bằng 60 độ.
Tính khoảng cách từ C' đến mặt phẳng (AB'C).

Ta xét tứ diện AA'BD.

Vì
AA' = AB = AD = 1
và các góc
góc BAA' = góc DAA' = góc DAB = 60 độ

Nên theo định lí cos:
A'B² = AA'² + AB² - 2.AA'.AB.cos 60 độ
= 1 + 1 - 2.1.1.1/2
= 1
suy ra A'B = 1

Tương tự:
BD = 1, DA' = 1

Vậy tứ diện AA'BD là tứ diện đều cạnh 1.

Suy ra thể tích của nó là:
VAA'BD = căn 2 / 12

Mà thể tích hình hộp bằng 6 lần thể tích tứ diện tạo bởi ba cạnh xuất phát từ cùng một đỉnh, nên:
Vhình hộp = 6 . căn 2 / 12 = căn 2 / 2

Bây giờ xét tứ diện AB'CC'.

Ta có:
VAB'CC' = 1/6 Vhình hộp = căn 2 / 12

Gọi h là khoảng cách từ C' đến mặt phẳng (AB'C).
Khi đó:
VAB'CC' = 1/3 . SAB'C . h

Ta tính diện tích tam giác AB'C.

Có:
AB'² = AB² + AA'² + 2.AB.AA'.cos 60 độ
= 1 + 1 + 1
= 3
nên AB' = căn 3

Tương tự:
AC = căn 3

Lại có:
B'C² = BC² + CC'² - 2.BC.CC'.cos 60 độ
= 1 + 1 - 1
= 1
nên B'C = 1

Vậy tam giác AB'C có ba cạnh:
AB' = AC = căn 3, B'C = 1

Nửa chu vi là:
p = (căn 3 + căn 3 + 1)/2 = (2 căn 3 + 1)/2

Theo công thức Heron:
SAB'C = căn [p(p - căn 3)(p - căn 3)(p - 1)]
= căn 11 / 4

Do đó:
căn 2 / 12 = 1/3 . căn 11 / 4 . h

Suy ra:
h = 3 . căn 2 / 12 . 4 / căn 11
= căn 2 / căn 11
= căn(2/11)

Vậy khoảng cách từ C' đến mặt phẳng (AB'C) là:
căn(2/11)

Bài giải

Câu 1

Gọi S(t) là phần mặt nước bị bèo phủ kín sau t giờ.

Vì sau mỗi giờ lượng bèo tăng gấp 10 lần nên ta có dạng tăng trưởng:
S(t) = S0 . 10^t

Sau 12 giờ, bèo phủ kín mặt nước, tức là:
S(12) = 1

Ta cần tìm thời điểm t sao cho:
S(t) = 1/5

Khi đó:
S(t) / S(12) = (1/5) / 1 = 1/5

Mà
S(t) / S(12) = 10^(t-12)

Suy ra:
10^(t-12) = 1/5

Lấy logarit cơ số 10 hai vế:
t - 12 = log(1/5) = -log 5

Nên:
t = 12 - log 5

Vì log 5 ≈ 0,699 nên:
t ≈ 12 - 0,699 = 11,301

Làm tròn đến hàng phần mười:
t ≈ 11,3 giờ

Vậy sau khoảng 11,3 giờ thì bèo phủ kín 1/5 mặt nước trong chậu.

The 3 grammar mistakes are:

Corrected passage:

"My brother, Nam, has a very interesting hobby. He loves carving eggshells. He started this hobby five years ago after he saw some carved eggshells in an art gallery. He thinks that carving eggshells is difficult and boring, but I find it very creative. He has a big collection of beautiful eggshells now."

Giải câu c:

Ta chỉ cần dùng thêm kết quả của ý b):
OD² = OH . OM.

Vì D thuộc đường tròn (O;R) nên OD = R, lại có OM = 2R, suy ra

R² = OH . 2R
=> OH = R/2.

Do OM vuông góc AC tại H, ta đặt hệ trục tọa độ sao cho

O(0;0), M(2R;0).

Khi đó H nằm trên trục Ox và vì OH = R/2 nên
H(R/2;0).

Suy ra đường thẳng AC có phương trình
x = R/2.

Vì A, C thuộc đường tròn x² + y² = R² nên

A(R/2; √3R/2), C(R/2; -√3R/2).

Do AB là đường kính nên B là điểm đối xứng của A qua O:
B(-R/2; -√3R/2).

Bây giờ tìm D là giao điểm thứ hai của MB với đường tròn.

Phương trình đường thẳng MB:
hệ số góc của MB là

m = [0 - (-√3R/2)] / [2R - (-R/2)] = √3/5.

Vậy
MB: y = (√3/5)(x - 2R).

Giao với đường tròn x² + y² = R²:

x² + [√3/5 (x - 2R)]² = R².

Giải ra được hai nghiệm ứng với B và D:
x = -R/2 hoặc x = 13R/14.

Vậy
D(13R/14; -3√3R/14).

K là trung điểm của BD nên

K(( -R/2 + 13R/14 )/2 ; ( -√3R/2 - 3√3R/14 )/2)
= (3R/14 ; -5√3R/14).

Vì O(0;0), K(3R/14 ; -5√3R/14) nên đường thẳng OK có phương trình

y = (-5√3/3)x.

Gọi E = AC ∩ OK, mà AC: x = R/2 nên

E(R/2 ; -5√3R/6).

Bây giờ tính diện tích tam giác OEB.

Vì O là gốc tọa độ nên

S_OEB = 1/2 |x_E y_B - y_E x_B|

= 1/2 |(R/2)(-√3R/2) - (-5√3R/6)(-R/2)|

= 1/2 |-√3R²/4 - 5√3R²/12|

= 1/2 . 2√3R²/3

= √3R²/3.

Vậy diện tích tam giác OEB là

S_OEB = √3R²/3.

Đáp số: √3R²/3.

Giải câu c:

Ta chỉ cần dùng thêm kết quả của ý b):
OD² = OH . OM.

Vì D thuộc đường tròn (O;R) nên OD = R, lại có OM = 2R, suy ra

R² = OH . 2R
=> OH = R/2.

Do OM vuông góc AC tại H, ta đặt hệ trục tọa độ sao cho

O(0;0), M(2R;0).

Khi đó H nằm trên trục Ox và vì OH = R/2 nên
H(R/2;0).

Suy ra đường thẳng AC có phương trình
x = R/2.

Vì A, C thuộc đường tròn x² + y² = R² nên

A(R/2; √3R/2), C(R/2; -√3R/2).

Do AB là đường kính nên B là điểm đối xứng của A qua O:
B(-R/2; -√3R/2).

Bây giờ tìm D là giao điểm thứ hai của MB với đường tròn.

Phương trình đường thẳng MB:
hệ số góc của MB là

m = [0 - (-√3R/2)] / [2R - (-R/2)] = √3/5.

Vậy
MB: y = (√3/5)(x - 2R).

Giao với đường tròn x² + y² = R²:

x² + [√3/5 (x - 2R)]² = R².

Giải ra được hai nghiệm ứng với B và D:
x = -R/2 hoặc x = 13R/14.

Vậy
D(13R/14; -3√3R/14).

K là trung điểm của BD nên

K(( -R/2 + 13R/14 )/2 ; ( -√3R/2 - 3√3R/14 )/2)
= (3R/14 ; -5√3R/14).

Vì O(0;0), K(3R/14 ; -5√3R/14) nên đường thẳng OK có phương trình

y = (-5√3/3)x.

Gọi E = AC ∩ OK, mà AC: x = R/2 nên

E(R/2 ; -5√3R/6).

Bây giờ tính diện tích tam giác OEB.

Vì O là gốc tọa độ nên

S_OEB = 1/2 |x_E y_B - y_E x_B|

= 1/2 |(R/2)(-√3R/2) - (-5√3R/6)(-R/2)|

= 1/2 |-√3R²/4 - 5√3R²/12|

= 1/2 . 2√3R²/3

= √3R²/3.

Vậy diện tích tam giác OEB là

S_OEB = √3R²/3.

Đáp số: √3R²/3.