a. Ta có $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

$\Leftrightarrow \left(\dfrac12\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1$

$\Leftrightarrow \cos^2 \alpha = \dfrac34$

Theo giả thiết $0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ}$ suy ra $\cos \alpha > 0$

Do đó $\cos^2 \alpha = \dfrac34 \Leftrightarrow \cos \alpha = \dfrac{\sqrt3}2$.

$\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \dfrac12 . \dfrac2{\sqrt3} = \dfrac{\sqrt3}3$.

Tương tự với ý còn lại.

b. Ta có $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

$\Leftrightarrow \left(-\dfrac{\sqrt2}2\right)^2 + \sin^2 \alpha = 1$

$\Leftrightarrow \sin^2 \alpha = \dfrac12$

Theo giả thiết $90^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$ suy ra $\sin \alpha > 0$

Do đó $\sin^2 \alpha = \dfrac12 \Leftrightarrow \sin \alpha = \dfrac{\sqrt2}2$.

$\cot \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = -\dfrac{\sqrt2}2 . \dfrac2{\sqrt2} = -1$.

Chiều rộng của mảnh vườn là:

     25,8 x 2 : 3 = 17,2 (m)

Diện tích mảnh vườn là:

     25,8 x 17,2 = 443,76 (m$^2$)

Gọi số học sinh bốn khối 6,7,8,9 lần lượt là $a$; $b$; $c$; $d$, với $a$; $b$; $c$; $d \in \mathbb{N}^*$ .

Số học sinh khối 6 nhiều hơn khối 9 là $30$ học sinh thì $a - d = 30$.

Số học sinh bốn khối 6,7,8,9 tỉ lệ với $9$; $8$; $7$; $6$ nên:

$a : b: c : d = 9:8:7:6$ hay $\dfrac a9 = \dfrac b8 = \dfrac c7 = \dfrac d6 = \dfrac{a-d}{9-6} = \dfrac{30}3 = 10$.

Từ đó, em suy ra số học sinh mỗi khối. Ví dụ số học sinh khối 6 là: $a = 10.9 = 90$ (học sinh).