a, Tứ diện ABCD đều cạnh a.
Đặt \(\vec{AB}=\vec{x};\vec{AC}=\vec{y};\vec{AD}=z\)
\(\Rightarrow\vec{x}.\vec{y}=\vec{y}.\vec{z}=\vec{z}.\vec{x}=\dfrac{a^2}{2}\)
\(\Rightarrow\vec{CD}=\vec{AD}-\vec{AC}=\vec{z}-\vec{y}\)
\(\vec{AG}=\vec{AB}+\vec{BG}\)
\(=\vec{AB}+\dfrac{1}{3}\left(\vec{BD}+\vec{BC}\right)\)
\(=\vec{AB}+\dfrac{1}{3}\left(\vec{AD}-\vec{AB}+\vec{AC}-\vec{AB}\right)\)
\(=\dfrac{1}{3}\vec{AB}+\dfrac{1}{3}\vec{AC}+\dfrac{1}{3}\vec{AD}\)
\(=\dfrac{1}{3}\vec{x}+\dfrac{1}{3}\vec{y}+\dfrac{1}{3}\vec{z}\)
\(\Rightarrow\vec{CD}.\vec{AG}=\dfrac{1}{3}\left(\vec{z}-\vec{y}\right)\left(\vec{x}+\vec{y}+\vec{z}\right)\)
\(=\dfrac{1}{3}\vec{z}\left(\vec{x}+\vec{y}+\vec{z}\right)-\dfrac{1}{3}\vec{y}\left(\vec{x}+\vec{y}+\vec{z}\right)\)
\(=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{a^2}{2}+a^2\right)-\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{a^2}{2}+a^2+\dfrac{a^2}{2}\right)\)
\(=0\)
\(\Rightarrow AG\perp CD\)