Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 6. Chứng minh:

a,\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) ≥ \(\frac{3}{2}\)

b,\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\) ≥ 6

Cho a ≥ 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của:

a, \(a+\frac{1}{a}\)

b,\(3a+\frac{2}{a}\)

Cho 2 tam giác đều ABC và DEF mà A thuộc DF, E thuộc BC. Gọi I là giao của AC và EF, K là giao của AB và DE. Chứng minh:

a) Tam giác IFC và IAE đồng dạng; tam giác KDB và KAE đồng dạng.

b) BD // CF

Cho tam giác nhọn ABC vuông tại C, CH là đường cao. Lấy E thuộc CH, kẻ BD vuông góc với AE (D thuộc đường thẳng AE). Chứng minh:

a) AE.AD + BA.BH = AB²

b) AE.AD – HA.HB = AH²

Tam giác ABC có AM là phân giác của góc BAC (M thuộc BC). Kẻ tia Cx thuộc nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A sao cho góc BCx = \(\frac{1}{2}\) góc BAC. Gọi N là giao của Cx và tia AM. Chứng minh:

a) BM.MC = MN.MA

b) 2 tam giác ABM và ANC đồng dạng

c) Tam giác BCN cân

Cho tam giác ABC và phân giác AD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và C trên tia AD.

a) Chứng minh các tam giác ABE và ACF đồng dạng, BDE và CDF đồng dạng

b) Chứng minh AE. DF = AF. DE

Cho tam giác ABC. Điểm M thuộc cạnh BC sao cho MB : MC = 2 : 3. Kẻ MH // AC (H thuộc AB) và MK // AB (K thuộc AC).

a) Tính MB, MC biết BC = 25cm

b) Tính chu vi tam giác ABC biết chu vi KMC bằng 30cm

c) Chứng minh rằng HB.MC = BM.KM

Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 4cm, BD = 6cm, CD = 9cm.

a) Chứng minh tam giác ABD và BDC đồng dạng.

b) Tính số đo góc ABC, biết góc ADB = 45^o