Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của \(y=x-\sqrt{x-1991}\)

Bài 2: Cho a,b là các số thực không đồng thời =0. Tìm Min và Max của \(T=\frac{2a^2+4ab+5b^2}{a^2+b^2}\)

Bài 3: Cho a,b,c là các số thực dương thay đổi. Tìm Min \(T=\frac{3\left(b+c\right)}{2a}+\frac{4a+3c}{3b}+\frac{12\left(b-c\right)}{2a+3c}\)

Bài 4: Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn: x+y+z=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(T=\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}.\left(\frac{\sqrt{y+z}}{x}+\frac{\sqrt{z+x}}{y}+\frac{\sqrt{x+y}}{z}\right)\)

Bài 5: Cho các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn \(5x^2+8y^2=20412\)

i) CMR: x,y chia hết cho 3

ii) Tìm x,y

Bài 1: Cho x,y,z nguyên và \(x+y+z=\sqrt{3}\). Tìm Min\(P=\Sigma\frac{1}{\sqrt{x\left(y+2z\right)}}\)

Bài 2: Cho a,b,c dương thỏa mãn abc=1. CMR: \(\frac{a}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{b}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{c}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}\ge\frac{3}{4}\)

Bài 3: Cho tam giác ABC có chu vi =2. Tìm Min \(S=\frac{a}{b+c-a}+\frac{4b}{c+a-b}+\frac{9c}{a+b-c}\)

Bài 4: a) Chứng minh rằng tồn tại vô số tự nhiên gồm toàn chữ số 9 mà số đó chia hết cho 77

b) Cho 100 điểm \(A_1,A_2,A_3,...,A_{100}\) trên mặt phẳng. Vẽ 1 đường tròn bán kính 1 bất kì. Chứng minh rằng luôn tồn tại diểm M trên đường tròn đó sao cho \(MA_1+MA_2+...+MA_{100}\ge100\)

Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn ( AB<AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của B và C trên đường kính AD của đường tròn(O)

a) CM tứ giác ABHM,AHNC nội tiếp

b) CM tam giác HMN đồng dạng tam giác ABC

c) Chứng minh HM vuông góc với AC

d) Gọi I là tủng điểm của BC. CM I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN

Bài 2:Cho đường tròn (O) đường kính AB=2R, Cl à trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C. K là điểm di động trên cung nhỏ MB và H là giao của AK và MN

a) CM tứ giác BCHK nội tiếp

b) Chứng minh tam giác MBN đều

c) Tìm vị trí điểm K trên cung nhỏ MB sao cho KM+KN+KB đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó theo R

Bài 1: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn các điều kiện \(\left(a+c\right)\left(b+c\right)=4c^2\). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(P=\frac{a}{b+3c}+\frac{b}{a+3c}+\frac{ab}{bc+ca}\)

Bài 2: Cho x,y,z thỏa mãn x+y+z=0 và \(x^2+y^2+z^2=1\). Tìm GTLN của biểu thức \(P=x^5+y^5+z^5\)

Bài 3: Cho a,b,c dương thỏa mãn \(a+b+c=1.\)Tìm Min

\(P=2020\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)+\frac{1}{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

Bài 4: Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện a+b+c=3. Tìm GTLN của biểu thức \(P=a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1}\)

Bài 1: Cho a,b,c dương

a) Tìm Max \(P=\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ca}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\)

b) Tìm Max \(Q=\frac{a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}+\frac{b^2}{5b^2+\left(c+a\right)^2}+\frac{c^2}{5c^2+\left(a+b\right)^2}\)

Bài 2: Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn \(x+y+z=\frac{3}{2}\).Chứng minh rằng \(x+2xy+4xyz\le2\)

Bài 3: Cho a,b thỏa mãn \(\left(x+y\right)^3+4xy\ge2\). Tìm Min \(P=3\left(x^4+y^4+x^2y^2\right)-2\left(x^2+y^2\right)+1\)

Bài 4: Cho x,y,z >0: \(x\left(x+y+z\right)=3yz\). Chứng minh: \(\left(x+y\right)^3+\left(x+z\right)^3+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\le5\left(y+z\right)^3\)

Bài 5:Cho a,b,c không âm thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2+abc=4\). CMR: \(a+b+c\le3\)

Bài 1: Tìm 6 SNT thỏa mãn \(p_1^2+p_2^2+p_3^2+p_4^2+p_5^2=p_6^2\)

Bài 2: Tìm SNT p để \(\frac{p+1}{2}\)và \(\frac{p^2+1}{2}\)là số chính phương

Bài 3: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a,b) thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện 4a+1 và 4b-1 nguyên tố cùng nhau; a+b là ước của 16ab+1

Bài 1: giải phương trình nghiệm nguyên

\(4\left(y^2+y\right)=x^4+x^3+x^2+x\)

Bài 2: Cho n thuộc Z⁺ tm: \(3^n-1⋮2^{2020}\)

CMR: \(n\ge2^{2022}\)