Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) . Tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M . Tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh A cắt đường tròn tại N . Chứng minh rằng :

a) Tam giác MBC cân .

b) Ba điểm M , O , N thẳng hàng .

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB . M là điểm tuỳ ý trên nửa đường tròn ( M khác A và B ) . Kẻ MH \(\perp\) AB ( H \(\in\)AB ) . Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn (O) vẽ hai nửa đường tròn tâm O1 đường kính AH và tâm O2 đường kính BH . MA và MB cắt hai nửa đường tròn (O1) và (O2) lần lượt tại P và Q .

a) Chứng minh MH = PQ .

b) Chứng minh hai tam giác MPQ và MBA đồng dạng .

c) Chứng minh PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O1) và (O2)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) . Tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M . Tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh A cắt đường tròn tại N . Chứng minh rằng :

a) Tam giác MBC cân .

b) Ba điểm M , O , N thẳng hàng .

Cho nửa đường tròn tâm (O) có đường kính AB = 2R. Kẻ hai tiếp tuyến Ax , By của nửa đường tròn (O) tại A và B (Ax , By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn(M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt tia Ax và By theo thứ tự tại C và D

1) Chứng minh tam giác COD vuông tại O

2) Chứng minh AC.BD = R²

3)Kẻ MH vuông góc AB (H thuộc AB). Chứng minh rằng BC đi qua trung điểm của đoạn MH

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB , AC của đường tròn (O) (B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC

1) CM: OA vuông góc với BC tại H

2) Từ B vẽ đường kính BD của (o), đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E (khác D). Chứng minh: AE.AD = AH.AO

3) Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với cạnh AD tại K và cắt đường BC tại F. Chứng minh FD là tiếp tuyến của (O)

4) Gọi I là trung điểm cạnh AB, qua I vẽ đường thẳng vuông góc với cạnh AO tại M và đường thẳng DF tại N. Chứng minh: ND = NA

Tìm các giá trị của m để ba đường thẳng sau đồng quy tại 1 điểm trong mặt phẳng tọa độ:

a, 3x + 2y = 5 ; 2x - y = 4 và mx +7y =11

b,y = 2x+3 ; y = x + 4 ; y = ( 3 - 5m )x - 5m

c, 3x + y = 5 ; 2x + y = -4 và (4m - 1)x + y=-1

Cho hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}kx-y=2\\x+ky=1\end{matrix}\right.\)

a,Gỉai hệ phương trình với k = 5

b,Tìm k để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện x +y = \(\dfrac{-3}{k^2+1}\)

Cho hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}2x+3y=m\\25x-3y=3\end{matrix}\right.\)

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x > 0 ; y<0