Từ điểm M ở ngoài đường tròn (I) kẻ hai tiếp tuyến ME và MF ( E và F là hai tiếp điểm ) . Kẻ dây EG của đường tròn (I) song song MF. Gọi H là giao điểm của MG với (I) và K là giao điểm của EH với MF .

a) Chứng minh KF^2 = KE . KH .

b) Chứng minh K là trung điểm của MF .

Cho đường tròn tâm O và điểm S ở ngoài đường tròn . Từ S kẻ hai tiếp tuyến SA và SD và cát tuyến SBC tới đường tròn ( B ở giữa S và C ).

a) Phân giác của góc BAC cắt dây cung BC ở M . Chứng minh SA = SM .

b) AM cắt đường tròn ở E. Gọi G là giao điểm của OE và BS; F là giao điểm của AD với BC . Chứng minh SA^2 = SG . SF .

c) Biết SB = a ; Tính SF khi BC = 2/3 a

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O . Các tia phân giác của các góc A và B cắt nhau ở I và cắt đường tròn theo thứ tự ở D và E . Chứng minh rằng :

a) tam giác: BDI là tam giác cân .

b) DE là đường trung trực của IC .

C)IF//BC ( F là giao điểm của DE và AC ).

Cho đường tròn tâm O và điểm M ngoài đường tròn đó . Từ M kẻ tiếp tuyến MA và cát tuyến MBC đến đường tròn ( B nằm giữa M và C ) . Phân giác của góc BAC cắt BC ở D , cắt đường tròn ở E . Chứng minh :

a) MD = MA

b) AD . AE = AC . AB

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O . Phân giác góc BAC cắt đường tròn (O) ở M . Tiếp tuyến kẻ từ M với đường tròn cắt các tia AB và AC lần lượt ở D và E . Chứng minh :

a) BC //DE

b) tam giác AMB và tam giác MCE dồng dạng ,tam giác AMC và tam giácMDB đồng dạng.

c) Nếu AC = CE thì MA² = MD . ME

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB= 2R, dây AC và tia tiếp tuyến Bx nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn . Tia phân giác của góc CAB cắt dây BC tại F , cắt nửa đường tròn tại H , cắt Bx ở D.

a) Chứng minh FB = DB và HF = HD

b) Gọi M là giao điểm của AC và Bx . Chứng minh AC . AM = AH . AD

c) Tính tích AF .AH + BF.BC theo bán kính R của đường tròn (O)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và ( AB < AC ) . Đường tròn (I) đi qua B và C , tiếp xúc với AB tại B cắt đường thẳng AC tại D . Chứng minh rằng : OA \(\perp\) BD .

Cho hai đường tròn tâm O , O1 tiếp xúc ngoài nhau tại A . Trên đường tròn (O) lấy hai điểm phân biệt B , C khác A. Các đường thẳng BA , CA cắt đường tròn (O1) tại P và Q . Chứng minh PQ // BC .

Cho đường tròn (O1) tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại A . Đường kính AB của đường tròn (O) cắt đường tròn (O1) tại điểm thứ hai C khác A . Từ B vẽ tiếp tuyến BP với đường tròn (O1) cắt đường tròn (O) tại Q .Chứng minh AP là phân giác của góc QAB