Gọi đường thẳng (d) có hàm số y=kx+b (k khác 0) (do hàm số có hệ số góc là k )

Vì (d) đi qua I(0;-1) => -1=0k+b => b=-1

=> y=kx-1(d)

Xét phương trình hoành độ giao điểm chung của (P) và (d) ta có:

-x^2=kx-1

<=> x^2-kx-1=0 (1)

Xét phương trình có a=1;c=-1 => ac=-1 <0 

=> (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt

=> (P) và (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt

\(\left(2+\dfrac{5-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}\right)\cdot\left(2-\dfrac{5+\sqrt{5}}{\sqrt{5}+1}\right)\\ =\left(2+\dfrac{\sqrt{5}\left(\sqrt{5}-1\right)}{\sqrt{5}-1}\right)\cdot\left(2-\dfrac{\sqrt{5}\left(\sqrt{5}+1\right)}{\sqrt{5}+1}\right)\\ =\left(2+\sqrt{5}\right)\cdot\left(2-\sqrt{5}\right)\\ =2^2-\sqrt{5}^2=4-5=-1\)

a) Vì MH vuông góc với AB (gt)
=> AMH=90 => M thuộc đường tròn đường kính AH
Tương tự N thuộc đường tròn đường kính AH 
=> M,N thuộc đường tròn đường kính AH

=> MANH là tứ giác nội tiếp
Gọi đường tròn đường kính AH là (T)

b) Xét tam giác AHB vuông tại H (do AH vuông góc với AB) có đường cao HM(do HM vuông góc AB)

nên AM.AB=AH^2 (hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông)
Tương tự AN.AC=AH^2
=> AM.AB=AN.AC

c) Vì tứ giác MANH nội tiếp (chứng minh trên)
=> AMN= AHN (do M,H là 2 đỉnh kề nhau của tứ giác)
Lại có HN vuông góc AC (gt)

=> tam giác ANH vuông tại N => AHN + HAN=90
Mặt khác AH vuông góc BC (gt)

=> tam giác AHC vuông tại H => HAN + HCA=90
=> AHN=HCA

Mà AHN=AMN(chứng minh trên)
=> AMN=BCA

Vì QH vuông góc với AH . Mà AH là đường kính của (T)
=> QH là tiếp tuyến của (T)
=> MHQ = MNH(hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)           
Xét tam giác QMH và tam giác QHN có:

MQH chung ; MHQ = MNH (cmt)
=> QMH đồng dạng QHN (g.g)

=> QM/QH=QH/QN => QH^2=QM.QN

d) Kẻ đường cao OJ của tam giác BOC cân tại O

=> OJ đồng thời là đường cao, đường phân giác

=> BC=2BJ ; BOJ=BOC/2

Xét (O) có BAC=60 => BOC=120

=> BOJ=60

Xét tam giác BOJ vuông tại J có:

OJ= BO. cos BOJ=3/2; BJ = BO.sin BOJ = 3 căn 3/2 

=> BC=3 căn 3

=> Diện tích tam giác BOC = 3 căn 3 . 3/2 /2 =9 căn 3/4

Diện tích hình quạt tròn BOC có bán kính R=3, cung 120 độ là

π.3^2.120/360=3π

Vậy diện tích hình viên phấn giới hạn bởi cung BC nhỏ và dây BC là

3π-9 căn 3/4

sorry ông tôi làm nhầm hii, đợi tôi vẽ cái hình lẹ lẹ cái.

Câu III.1:

ĐKXĐ \(x,y\ne0\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{3}{y}=4\\\dfrac{5}{x}-\dfrac{2}{y}=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=4-\dfrac{3}{y}\\5\left(4-\dfrac{3}{y}\right)-\dfrac{2}{y}=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=4-\dfrac{3}{y}\\-\dfrac{17}{y}=-17\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=4-\dfrac{3}{1}\\y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\left(t.m\right)\)

2. 

a) Với m=2 thì (1) trở thành

\(x^4-4x^2+3=0\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^2-3\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2=1\\x^2=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\pm1\\x=\pm\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

Vậy với m=2, thì phương trình có tập nghiệm \(S=\left\{1;-1;\sqrt{3};-\sqrt{3}\right\}\)

b) (1) tương đương với:

\(x^4-\left(m+2\right)x^2+m+1=0\\ \Leftrightarrow x^2\left(x^2-m-1\right)-\left(x^2-m-1\right)=0\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^2-m-1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2=1\\x^2=m+1\end{matrix}\right.\)

Để (1) có 4 nghiệm phân biệt 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+1>0\\m+1\ne1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\m\ne0\end{matrix}\right.\)

Với cả 3 phần thì dấu "=" xảy ra tại a=b=c=1.

a) \(\dfrac{a}{1+b^2}=\dfrac{a\left(1+b^2\right)}{1+b^2}-\dfrac{ab^2}{1+b^2}=a-\dfrac{ab^2}{1+b^2}\)

(Cosi) \(\ge a-\dfrac{ab^2}{2b}=a-\dfrac{ab}{2}\)

Tương tự : \(\dfrac{b}{1+c^2}\ge b-\dfrac{bc}{2};\dfrac{c}{1+a^2}\ge c-\dfrac{ca}{2}\)

\(\Rightarrow P\ge\left(a+b+c\right)-\dfrac{ab+bc+ca}{2}\ge\left(CS\right)\left(a+b+c\right)-\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{6}=3-\dfrac{3^2}{6}=\dfrac{3}{2}\)

b) \(\dfrac{1}{a^2+1}=1-\dfrac{a^2}{a^2+1}\ge\left(CS\right)1-\dfrac{a^2}{2a}=1-\dfrac{a}{2}\)

Tương tự : \(\dfrac{1}{b^2+1}\ge1-\dfrac{b}{2};\dfrac{1}{c^2+1}\ge1-\dfrac{c}{2}\)

\(\Rightarrow P\ge3-\dfrac{a+b+c}{2}=3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}\)

c)\(P=\dfrac{a+1}{b^2+1}+\dfrac{b+1}{c^2+1}+\dfrac{c+1}{a^2+1}=\left(\dfrac{a}{b^2+1}+\dfrac{b}{c^2+1}+\dfrac{c}{a^2+1}\right)+\left(\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}\right)\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}=3\)

Ta có:

\(P=\dfrac{5}{x^2+y^2}+\dfrac{3}{xy}=5\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\right)+\dfrac{1}{2xy}\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có:

\(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\ge\dfrac{4}{x^2+2xy+y^2}=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}=\dfrac{4}{3^2}=\dfrac{4}{9}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow2ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}=\dfrac{3^2}{2}=\dfrac{9}{2}\Rightarrow\dfrac{1}{2ab}\ge\dfrac{2}{9}\)

\(\Rightarrow P\ge5\cdot\dfrac{4}{9}+\dfrac{2}{9}=\dfrac{22}{9}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{3}{2}\)