HOC24
Lớp học
Môn học
Chủ đề / Chương
Bài học
\(A=\frac{2}{3xy}+\sqrt{\frac{3}{y+1}}\)
\(A\ge\frac{2}{3xy}+\frac{1+\frac{3}{y+1}}{2}\left(AM-GM\right)\)
\(A\ge\frac{2}{3xy}+\frac{3}{2\left(y+1\right)}+\frac{1}{2}\)
Ta có:\(\frac{2}{3xy}+\frac{x}{3}+\frac{y}{6}\ge1\left(AM-GM\right)\)
\(\frac{3}{2\left(y+1\right)}+\frac{y+1}{6}\ge1\left(AM-GM\right)\)
Cộng vế theo vế \(\Rightarrow A\ge2-\frac{x}{3}-\frac{y}{6}-\frac{y+1}{6}+\frac{1}{2}\)
\(A\ge\frac{5}{2}-\frac{x+y}{3}-\frac{1}{6}\)
\(A\ge\frac{5}{2}-1-\frac{1}{6}=\frac{4}{3}\)
"="<=>\(x=1;y=2\)
\(\Leftrightarrow2+9abc\ge7\left(ab+bc+ca\right)\)(1)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}abc=r\\ab+bc+ca=q\\a+b+c=p\end{matrix}\right.\)
Ta có:\(r\ge\frac{p\left(4q-p^2\right)}{9}\)(cái này bạn gõ schur trên gg là ra)
\(\Leftrightarrow9r\ge4q-1\)
\(\Rightarrow2+9r\ge2+4q-1=1+4q\)
Lại có:\(3q\le p^2=1\)(bạn tự chứng minh)
\(\Rightarrow1+4q\ge3q+4q=7q\)
\(\Rightarrow2+9r\ge7q\left(đpcm\right)\)
"="\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
Ta có:\(F=\frac{x^2}{\sqrt{y}}+\frac{y^2}{\sqrt{x}}\)
\(F=\frac{x^2}{\sqrt{y}}+x^2\sqrt{y}+\frac{y^2}{\sqrt{x}}+y^2\sqrt{x}-x^2\sqrt{y}-y^2\sqrt{x}\)
\(F\ge2x^2+2y^2-x^2\sqrt{y}-y^2\sqrt{x}=4-x^2\sqrt{y}-y^2\sqrt{x}\)
Đặt \(A=x^2\sqrt{y}+y^2\sqrt{x}\)
\(A\le\frac{x^2\left(y+1\right)+y^2\left(x+1\right)}{2}=\frac{x^2y+y^2x+2}{2}\)
Ta có:\(x^2y+y^2x=xy\left(x+y\right)\le\frac{x^2+y^2}{2}.\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}=1.2=2\)
\(\Rightarrow A\le\frac{2+2}{2}=2\)
\(\Rightarrow F\ge4-2=2\)
"="<=>x=y=1
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy+2=3x+y\left(1\right)\\x^2+y^2=2\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2+xy+2-3x-y=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+xy-2x\right)-\left(y+x-2\right)=0\)(~)
\(\Leftrightarrow x\left(x+y-2\right)-\left(x+y-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+y-2\right)=0\)(đến đây dễ mình để bạn xử lí nốt)
Mấu chốt đó là vì sao phân tích được chỗ (~) như mình
Bạn tính delta theo ẩn x thì sẽ được thôi và gặp các bài khác thì cách bạn nên nghĩ đầu tiên đó là tính delta theo ẩn nào đó trước
13)Ta có:\(\sqrt{2015a+1}+\sqrt{2015b+1}+\sqrt{2015c+1}\le\sqrt{\left(2015a+1+2015b+1+2015c+1\right)\left(1+1+1\right)}\)
\(\Rightarrow VT\le\sqrt{2018.3}< \sqrt{2028.3}=78\)
=>đpcm
Không mất tính tổng quát giả sử \(0\le\)a<b<c
Ta có:\(ab+bc+ca\ge bc\)
\(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}=\frac{1}{\left(b-a\right)^2}\ge\frac{1}{b^2}\)
TT\(\Rightarrow\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\frac{1}{c^2}\)\(\Rightarrow VT\ge bc\left(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
\(VT\ge\frac{b^2+c^2}{bc}+\frac{bc}{\left(b-c\right)^2}\)
Đặt \(b^2+c^2=x;bc=y\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{x-2y}\)
Ta cm:\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x-2y}\ge4\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge4xy-8y^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3y\right)^2\ge0\left(real\right)\)
"="<=>a=0;\(b^2+c^2=3xy\) và các hoán vị
\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y}=1\\3x-y=xy\end{matrix}\right.\)(ĐK:\(x\ne-1;y\ne0\))
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y+x+1=xy+y\\3x=xy+y\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y+x+1=3x\\3x=xy+y\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{y+1}{2}\\3.\left(\frac{y+1}{2}\right)=\frac{y+1}{2}.y+y\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{y+1}{2}\\y^2=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}\\y=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{-\sqrt{3}+1}{2}\\y=-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
Cho x,y,z>0 và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{16}{x+y+z}\).Tìm min \(P=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\)