Tìm m để biểu thức \(P=\frac{m^2}{x_1^2+5mx_2+12m}+\frac{x^2_2+5mx_1+12m}{m^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất, trong đó x₁,x₂ là 2 nghiệm của phương trình đã cho

Cho \(\Delta ABC\) có 3 góc nhọn nội tiếp (O). Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn cắt nhau tại D.Từ D kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt (O) tại E,F và cắt AC tại I \(\left(E\in\stackrel\frown{BC\text{ nhỏ}}\right)\)

a, Chứng minh: Tứ giác BDCO nội tiếp

b,Chứng minh: DC2=DE.DF

c,Chứng minh DOIC nội tiếp

d, Chứng minh I là trung điểm FE

Cho phương trình \(x^2-2\left(m-1\right)x-1=0\)

Tìm m để phương trình 2 nghiệm phân biệt x₁,x₂ thỏa mãn \(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}+\frac{10}{3}=0\)

thành lập một chuỗi thức ăn có thể có trong hệ sinh thái ao bèo từ đó thành lập một lưới thức ăn

Tìm phương trình \(x^2-2\left(m-1\right)x+2m-3=0\)

Tìm m đề phương trình có 2 nghiệm sao cho nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia

Cho phương trình \(2^2-\left(m+3\right)x+m-1=0\)

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x₁,x₂ thỏa mãn\(\left|x_1-x_2\right|=\sqrt{5}\)

thấu kính hội tụ có tiêu cự f=20cm, vật sáng AB cao 2cm đặt trước thấu kính vuông góc với trục chính của thấu kính. Chứng minh công thức thấu kính. Tính độ cao của ảnh trong 2 trường hợp sau

a,Vật cách thấu kính 25cm

b,Vật cách thấu kính 15cm

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD, AC cắt BD tại E. Kẻ \(ÈF\perp AD\).Gọi M là trung điểm DE.

Chứng minh:

a, CA là phân giác \(\widehat{BCF}\)

b,Tứ giác BCMF nôi tiếp

Cho hình thang ABCD, \(\widehat{A}=\widehat{B}=90^o\) . M là trung điểm AB. Kẻ các đường cao AH,BK của \(\Delta AMD,\Delta BMC\) cắt nhau tại N. Chứng minh

a,Tứ giác MHNK , HKCD nội tiếp

b,\(MN\perp CD\)

Quãng sông AB dài 78km. Một chiếc thuyền máy đi từ A về B. Sau đó 1 giờ, một chiếc ca nô đi từ về A. Thuyền và ca nô gặp nhau tại C cách B 36km. Tính thời gian của thuyền, thời gian của ca nô đã đi từ lúc khởi hành đến khi gặp nhau, biết vận tốc của ca nô lớn hơn vận tốc của thuyền là 4km/h