Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau :
a/x=b/y=c/z=a/x=2b/2y=3c/3z=a+2b-3c/x+2y-3z
=>4a/4x=5b/5y=6c/6z=4a-5b+6c/4x-5y+6z
=>a+2b-3c/x+2y-3z=4a-5b+6c/4x-5y+6z=a+2b-3c/4a-5b+6c=x+2y-3z/4x-5y+6z
Vậy ta có điều phải chứng minh
2/ Theo đề bài ta có:
\(^{^{ }a^2}\)=bc=>\(\dfrac{a}{b}\)=\(\dfrac{c}{a}\)=\(\dfrac{a}{c}\)=\(\dfrac{b}{a}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau :
\(\dfrac{a}{b}\)=\(\dfrac{c}{a}\)=\(\dfrac{a}{c}\)=\(\dfrac{b}{a}\)=\(\dfrac{a+b}{c+a}\)(*)
=>\(\dfrac{a}{c}\)=\(\dfrac{b}{a}\)=\(\dfrac{a-b}{c-a}\)(**)
Từ (*) và (**) suy ra :
\(\dfrac{a+b}{c+a}\)=\(\dfrac{a-b}{c-a}\)=\(\dfrac{a+b}{a-b}\)=\(\dfrac{c+a}{c-a}\)
Từ đó ta có điều phải chứng minh
b) Theo đề bài ta có:
\(\dfrac{a+b}{a-b}\)=\(\dfrac{c+a}{c-a}\)=>(a+b).(c-a)=(a-b).(c+a)
=>ac-a^2+bc-ab=ac+a^2-bc-ab
=>ac-ac+ab-ab-a^2-a^2=-bc-bc
=>-a^2-a^2= -bc-bc
=>-2a^2=-2bc
=>a^2=bc

Ta có: M = xy(x+y) + yz(y+z) + xz (x+z) + 2xyz 

= xy(x + y) + yz(y + z) + xyz + xz(x + z) + xyz 

= xy(x + y) + yz(y + z + x) + xz(x + z + y) 

= xy(x + y) + z(x + y + z)(x + y) 

= (x + y)(xy + zx + zy + z²) 

= (x + y)[x(y + z) + z(y + z)] 

M = (x + y)(y + z)(z + x) (đpcm)

a) Theo giả thiết : AM//Oy nên OAM+xOy=180 ( trong cùng phía)
hay OAM +150=180
=> OAM =30 độ
b) Ta có: OAM+OAN=NAM
hay 30+150=NAM
=> NAM=180
=>NAM là góc bẹt => OM và ON là hai tia đối nhau
Mà AM//OY (gt)
=> AN//OY(đpcm)
c) Từ NAM là góc bẹt suy ra N,A,M nằm trên cùng một đường thẳng => N, A, M thẳng hàng
( hình tự vẽ nha)

hình tự vẽ nha

(a+b).1 = a+b (số nào nhân 1 cũng bằng chính số đó)

a+b.1 = a+b

=> (a+b).1 = a+b.1 (vì cùng bằng a+b)

Giả sử 2 trong 5 số không bằng nhau. VD a <B (a khác b) (*)
Trong 2 lũy thừa bằng nhau thì lũy thừa nào có cơ số nhỏ hơn sẽ có số mũ lớn hơn và ngược lại
Vì vậy từ a^b=b^c mà a<b => b>c
b^c=c^d mà b>c=> c<d
c^d=d^e mà c<d=>d>e
d^e=e^a mà d>e=>e<a
e^a=a^b mà e<a=>a>b(**)
Từ (*) và (**) suy ra đều giả sử sai
Do đó a=b
Nếu a=b=1 thì c=d=e=1. Nếu a=b lớn hơn hoặc bằng 2 thì b=c=d=e.
Vậy năm số a, b, c, d. e bằng nhau

Do BI là tia phân giác của góc B nên:
DBI=IBC=\(\dfrac{1}{2}\)B
Do CI là tia phân giác của giác C nên:
ECI=BCI=\(\dfrac{1}{2}\)C
Do ED//BC (gt) nên BCI=EIC (so le trong)
mà BCI=ECI => EIC=ECI(đpcm)
Do ED//BC (gt) nên IBC=DIB ( so le trong)
mà IBC=DBI=>DIB=DBI (đpcm)
(hình tự vẽ nha)

Trong một giờ vòi thứ nhất chảy được \(1:3=\frac{1}{3}\) (bể)

Phần còn lại chiếm \(1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\) (bể)

Trong một giờ vòi thứ hai chảy được \(1:5=\frac{1}{5}\) (bể)

Thời gian để bể đầy là \(\frac{2}{3}:\frac{1}{5}+1=\frac{13}{3}\) (giờ)

Do OM là tia phân giác của góc AOB nên:
MOB=\(\dfrac{1}{2}\)AOB
Do ON là tia phân giác của góc BOC nên:
NOB=\(\dfrac{1}{2}\)BOC
Theo đề bài do AOB và BOC là hai góc kề bù cho nên: AOB+BOC=180 độ
Ta có: MOB+NOB= MON
hay \(\dfrac{1}{2}\)AOB+\(\dfrac{1}{2}\)BOC=MON
=>\(\dfrac{1}{2}\)(AOB+BOC)=MON
=>\(\dfrac{1}{2}\).180=MON
=>90 độ=MON
=>OM vuông góc với ON (đpcm)

a) Xét tam giác BED và tam giác AED:
BD=DA(do D là trung điểm của đoạn AB)
BDE=ADE(=90 độ)
DE là cạnh chung
Do đó tam giác BED=tam giác AED(c.g.c)
=>AE=EB (hai cạnh tương ứng)
b)Do tam giác EAK là tam giác vuông mà EKA bằng 90 độ nên:
EAK+AEK=90 độ
=> AEK=90-EAK
Do tam giác DEA là tam giác vuông mà góc ADE=90 độ nên:
DAE+DEA=90 độ
=>DEA=90-DAE
Ta lại có:DEA+AEK=DEK
hay 90-EAK+90-DAE=DEK
=> 90+90-(EAK+DAE)=DEK
Mặt khác: EAK+DAE=DAK
mà DAK= 90 độ nên EAK+DAE=90 độ
Do đó 90+90-90=DEK
=> DEK=90độ
c) Ta có:DE vuông góc với AB (gt)
và AK vuông góc AB (do góc A bằng 90 độ)
suy ra DE//AK
Từ DE//AK suy ra DEA=EAK(so le trong)
Ta lại có: DAE=90-EAK
và AEK=90-DEA
Mà EAK=DEA(CMT)
nên DAE=AEK
Xét tam giác DAE và tam giác KEA:
DEA==EAK(do DE//AK )
DAE=AEK(CMT)
AE là cạnh chung
Do đó tam giác AED=tam giác EAK(g.c.g)
MÀ tam giác AED= tam giác BED nên tam giác EAK=tam giác BED. Do đó suy ra DB=EK (hai cạnh tương ứng)