Xét tam giác AND và tam giác CNB, có:
AN=NC ( do N là trung điểm của AC)
AND=CNB (đối đỉnh)
ND=NB (gt)
Do đó tam giác AND=tam giác CNB (c.g.c)
=> AD=BC ( hai cạnh tương ứng) (1)
Áp dụng tính chất tổng ba góc trong tam giác có:
ABC+BAC+ACB=180 độ
Mà ACB=DAC ( do tam giác AND= tam giác CNB )
nên ABC+BAC+DAC=180
Mặt khác ta có: EAM+BAC+DAC=180 độ (kb)
Do đó: ABC=EAM
Xét tam giác EAM và tam giác CBM, có:
EAM=ABC (cmt)
AM=MB ( do M là trung điểm của AB )
EMA=BMC ( đối đỉnh)
Do đó tam giác EAM=CBM (g.c.g)
=> AE=BC ( hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra AD=AE
=> A là trung điểm của DE
Vậy A là trung điểm của DE (đpcm)
( Đề bạn có chỗ sai)

a) Xét tam giác BAM và tam giascDAM, có:
AB=AD ( hai cạnh tương ứng)
BAM=DAM ( do Am là tia phân giác của BAC)
AM là cạnh chung
Do đó tam giác BAM= tam giác DAM (c.g.c)
=> BM=MD (hai canh tương ứng )
Vậy BM=MD
b) Từ tam giac BAM= tam giac DAM (cmt)
=> ABC=ADK (hai góc tương ứng)
Xét tam giác ADK và tam giác ABC, có:
ADK=ABC (cmt)
AD=AB ( gt)
BAC là góc chung
Do đó tam giác ADK= tam giác ABC (g.c.g)
Vậy tam giác DAK= tam giác BAC
c) Gọi I là giao điểm của AM và BD
Xét tam giác BAI và tam giác DAI, có:
AB=AD (gt)
BAI=DAI (do AM là tia phân giac của góc BAC)
AI là cạnh chung
Do đó tam giác BAI= tam giác DAI (c.g.c)
=> BI= ID ( hai cạnh tương ứng) (1); BIA=DIA ( hai góc tương ứng)
Mặt khác BIA+DIA=180độ (kb)
=> BIA=DIA=180:2=90 độ
=> AI vuông góc với BD (2)
Từ (1) và(2) suy ra AM là dduongf trung trực của BD
Vậy AM là đường trung trực của BD
( Hình bạn tự vẽ nha!)

a) Xét tam giác BMK và tam giác AMC, có:
BM=AM (do M là trung điểm của AB)
BMK=AMC ( đối đỉnh)
MK=MC ( gt)
Do đó tam giác BMK= tam giác AMC (c.g.c)
=> BK=AC ( hai cạnh tương ứng); BKM=ACM ( hai góc tương ứng)
Mặt khác chúng lại ở vị trí so le tong nên suy ra KB//AC
Vậy KB=AC và KB//AC
b)Xét tam giác AMK và tam giác BMC, có:
MK=MC ( gt)
KMA=BMC (đối đỉnh )
AM=BM ( do M là trung dierm của AB )
Do đó tam giác AMK= tam giác BMC (c.g.c)
=> AKM=BCM ( hai góc tương ứng )
Mặt khác chúng lại ở vị trí so le trong nên suy ra KA//BC
Vậy Ak//BC
(Hình bạn tự vẽ nha! À đề bạn câu a bị sai)

Từ D và E lần lượt hạ các đường vuông góc xuống AH tại K, N.
Vì tam giác DKA vuông tại K nên có KDA+DAK=90
Mặt khác Ta có: DAK+BAH+90=180 độ (kb)
=> DAK+BAH=90 độ
Do đó suy ra KDA=BAH
Xét tam giác DKA và tam giác AHB,có:
DKA=BHA (=90 độ)
AD=AB ( gt)
KDA=BAH (cmt)
Do đó tam giác DKA= tam giác AHB (ch.gn)
=> DK=AH ( hai cạnh tương ứng) (*)
Vì tam giác NEA vuông tại N nên có: NEA+NAE=90 độ
Mặt khác ta lại có: NAE+HAC+90=180 độ (kb)
=> NAE+HAC=90 độ
Do đó suy ra NEA=HAC
Xét tam giác ANE và tam giác CHA, có :
NEA=HAC (cmt)
AE=AC (gt)
ANE=AHC (=90 độ)
Do đó tam giác ANE= tam giác CHA (ch.gn)
=>NE=AH ( hai cạnh tương ứng) (**)
Từ (*) và (**) => DK=NE
Xét tam giác DKI và tam giác ENI,có:
DKI=ENI (=90 độ)
DK=NE (cmt)
DIK=NIE (đối đỉnh)
Do đó tam giác DKI= tam giác ENI (cgv.gn)
=> DI=IE ( hai cạnh tương ứng )
Vậy DI=IE ( đpcm)
( Hình bạn tự vẽ nha! Bài này còn rất nhiều cách nhưng mình chỉ nêu ra một cách thôi nha)

a) Xét tam giác ABD và tam giác EBD, có:
BA=BE (gt)
ABD=EBD ( do BD là tia phân giác của góc ABC)
BD là cạnh chung
Do đó tam giác ABD = tam giác EBD (c.g.c)
=> DA=DE ( hai cạnh tương ứng)
Vậy DA=DE
b)Từ tam giác ABD = tam giác EBD (cmt)
=> BED=BAD=90 độ ( hai góc tương ứng )
=> tam giác BED cân
Vậy góc BED= 90 độ và tam giác BED vuông.
( hình bạn tự vẽ nha)

Từ \(b^2=ac\Rightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}\left(1\right)\)
\(c^2=bd\Rightarrow\dfrac{c}{d}=\dfrac{b}{c}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)=> \(\dfrac{â}{b}=\dfrac{c}{d}\)\(=\dfrac{b}{c}\)
Asp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, có:
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}=>\dfrac{a^3}{b^3}=\dfrac{b^3}{c^3}=\dfrac{c^3}{d^3}=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}\)(*)
Ta có: \(\dfrac{a^3}{b^3}=\dfrac{a}{b}.\dfrac{c}{d}.\dfrac{b}{c}=\dfrac{a}{d}\)(**)
Từ (*) và (**) suy ra \(\dfrac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\dfrac{a}{d}\) (đpcm)
(bạn ghi đề thiếu đấy)

Vì tam giác BAH vuông tại H nên HBA+BAH=90 độ (*)
Ta có: BAH+90+KAC=180độ
=> BAH+KAC=90 độ (**)
Từ (*) và (**) suy ra HBA=KAC
Xét tam giác BAH và tam giác ACK, có:
H=K(=90 độ)
AB=AC (gt)
HBA=KAC(cmt)
Do đó tam giác BAH= tam giác ACK (ch.gn)
=>AH=CK ( hai cạnh tương ứng)
Vậy AH=CK (đpcm)
b) Từ tam giác BAH= tam giác ACK (cmt)
=>AK=BH (hai cạnh tương ứng)
Ta có: HK=AH+AK
Mặt khác : AK=BH (cmt); AH=CK (cmt)
nên HK=BH+CK
Vậy HK=BH+CK (đpcm)
(hình bạn tự vẽ nha!)

a) Vì DE//BC (gt) nên EDF=BFD (slt)
Vì EF//AB (gt) nên BDF=DFE (slt)
Xét tam giác BDF và tam giác EFD, có:
BFD=EDF (cmt)
DF là cạnh chung
BDF=DFE (cmt)
Do đó tam giác BDF= tam giác EFD (g.c.g)
=>BD=EF ( hai cạnh tương ứng)
Vậy BD=EF
b) Từ tam giác BDF=tam giác EFD (cmt)
=> BD=EF ( hai cạnh tương ứng)
Mà BD=DA ( do D là trung điểm của AB)
=> EF=DA
Vì EF//AB (gt) nên FEC=DAE (slt); EFC=DBF (đồng vị)(*)
Vì DE//BC (gt) nên ADE=DBF (đồng vị)(**)
Từ (*) và (**) suy ra EFC=ADE
Xét tam giác FEC và tam giác DAE, có:
EFC=ADE(cmt)
EF=DA (cmt)
FEC=DAE (cmt)
Do đó tam giác FEC= tam giác DAE (g.c.g)
=> EC=AE (hai cạnh tương ứng)
=> E là trung điểm của AC
Vậy E là trung điểm của AC (đpcm)
c) Vì AD//EF(gt) nên ADE=FED (cmt)
Xét tam giác DEF và tam giác EDA, có:
EF=AD(cmt)
FED=ADE(cmt)
DE là cạnh chung
Do đó tam giác DEF= tam giác EDA (c.g.c)
=>FDE=DEA ( hai góc tương ứng)
Mặt khác chúng lại ở vị trí so le trong nên suy ra DF//AC
Vậy DF//AC (đpcm)
d)Vì DF//AC (cmt) nên DBF=EFC (đồng vị)
FEC=DFE(slt)(1)
Vì EF//AB(gt) nên DFE=BDF(slt)(2)
Từ (1) và (2) suy ra FEC=BDF
Xét tam giác BDF và tam giác FEC, có:
BDF=FEC(cmt)
BD=EF(cmt)
DBF=EFC(cmt)
Do đó tam giác BDF=tam giác FEC(g.c.g)
=>DF=EC(hai cạnh tương ứng)
Mà EC=1/2 AC (do E là trung điểm của AC)
=> DF=1/2.AC
Vậy DF=1/2.AC (đpcm)
(hình bạn tự vẽ nha)

Trên tia đối của tia MC lấy điểm E sao cho M là trung điểm của CE.|
Xét tam giác AME và tam giác BMC, có:
ME=MC (do M là trung điểm của CE)
EMA=BMC (đối đỉnh)
AM=BM ( do M là trung điểm của AB)|
Do đó tam giác AME= tam giác BMC (c.g.c)
=> AE=BC ( hai cạnh tương ứng)
Vì BD=BA (do B là trung điểm của AD)
Mà BA=AC (gt)=> BD=AC
Từ tam giác AME= tam giác BMC (cmt)
=>EAM=CBM ( hai góc tương ứng)
Ta có: EAC=EAM+MAC
hay EAC=CBM+MAC (*)
Vì DBC là góc ngoài tai đỉnh B của tam giác ABC nên:
DBC=BAC+ACB
Mà ACB=ABC (do tam giác ABC cân)
=> DBC=BAC+ABC (**)
Từ(*) và (**) suy ra DBC=EAC
Xét tam giác BDC và tam giác AEC, có:
BD=AC(cmt)
DBC=EAC(cmt)
BC=AE (cmt)
Do đó tam giác BDC= tam giác AEC (c.g.c)
=> EC=DC ( hai cạnh tương ứng)
Mặt khác CM=2EC ( do M là trung điểm của EC)
=> DC=2CM
Vậy CD=2CM (đpcm)
( hình tự vẽ nha)

Tính A=\(\dfrac{0,5}{3}+\dfrac{0,5}{6}+\dfrac{0,5}{10}+\dfrac{0,5}{15}+...+\dfrac{0,5}{1275}+\dfrac{0,5}{1326}\)