a)\(x^3-2y^3-3xy^2\)

\(=x^3+2x^2y+xy^2-2y^3-4xy^2-2x^2y\)

\(=x\left(x^2+2xy+y^2\right)-2y\left(x^2+2xy+y^2\right)\)

\(=\left(x-2y\right)\left(x^2+2xy+y^2\right)\)

\(=\left(x-2y\right)\left(x+y\right)^2\)

b)\(x^6-x^4-2x^3+2x^2\)

\(=x^2\left(x^4-x^2+2x+2\right)\)

\(=x^2\left(x^2-2x+1\right)\left(x^2+2x+2\right)\)

\(=x^2\left(x-1\right)^2\left(x^2+2x+2\right)\)

\(x^3+4x^2-29x+24\)

\(=x^3-4x^2+3x+8x^2-32x+24\)

\(=x\left(x^2-4x+3\right)+8\left(x^2-4x+3\right)\)

\(=\left(x^2-4x+3\right)\left(x+8\right)\)

\(=\left(x^2-3x-x+3\right)\left(x+8\right)\)

\(=\left[x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)\right]\left(x+8\right)\)

\(=\left(x-1\right)\left(x-3\right)\left(x+8\right)\)

\(a^{16}+a^8b^8+b^{16}\)

\(=a^{16}+b^{16}+2a^8b^8-a^8b^8\)

\(=\left(a^8+b^8\right)^2-a^8b^8\)

\(=\left(a^8+b^8+a^4b^4\right)\left(a^8-a^4b^4+b^8\right)\)

\(=\left(a^8+b^8+2a^4b^4-a^4b^4\right)\left(a^8-a^4b^4+b^8\right)\)

\(=\left(\left(a^4+b^4\right)^2-a^4b^4\right)\left(a^8-a^4b^4+b^8\right)\)

\(=\left(a^4+b^4+a^2b^2\right)\left(a^4-a^2b^2+b^4\right)\left(a^8-a^4b^4+b^8\right)\)

\(=\left(a^4+b^4+2a^2b^2-a^2b^2\right)\left(a^4-a^2b^2+b^4\right)\left(a^8-a^4b^4+b^8\right)\)

\(=\left(\left(a^2+b^2\right)^2-a^2b^2\right)\left(a^4-a^2b^2+b^4\right)\left(a^8-a^4b^4+b^8\right)\)

\(=\left(a^2-ab+b^2\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\left(a^4-a^2b^2+b^4\right)\left(a^8-a^4b^4+b^8\right)\)

Ý nào sau đây không đúng với nước Nga sau khi Liên Xô tan rã (cuối năm 1991 trở đi)?

A. Tốc độ tăng trưởng GDP âm.

B. Sản lượng các ngành kinh tế giảm.

C. Đời sống nhân dân gặp nhiều khó khăn.

D. Tình hình chính trị, xã hội ôn định.

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(VT=\dfrac{a^6}{a^3+a^2b+ab^2}+\dfrac{b^6}{b^3+b^2c+bc^2}+\dfrac{c^6}{c^3+ac^2+a^2c}\)

\(\ge\dfrac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{a^3+a^2b+ab^2+b^3+b^2c+bc^2+c^3+ac^2+a^2c}\)

\(=\dfrac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}\). Cần chứng minh BĐT

\(\dfrac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3+b^3+c^3}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow3\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Lại xài BĐT Holder ta có:

\(\left(1+1+1\right)\left(1+1+1\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\)

\(\Rightarrow3\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{3}\ge\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\ge a^2+b^2+c^2\)

BĐT cuối nên ta có cả bài này sai. Ai có cách khác hay soi lỗi hộ thì tks trước :v

từ $x\le 3$ suy ra $x=3$ là điểm rơi

suy ra $y=8$ suy ra $P_{max}= 3*8=24$