\(\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\)

= \(\dfrac{1-\sqrt{2}}{1-2}+\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{3-4}+...+\dfrac{\sqrt{99}-\sqrt{100}}{99-100}\)

= \(\dfrac{1-\sqrt{2}}{-1}+\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1}+\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{-1}+...+\dfrac{\sqrt{99}-\sqrt{100}}{-1}\)

= \(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\)

= \(-1+\sqrt{100}\) = -1+10=9

\(\Rightarrow\) đpcm

Ta cm \(a^3+b^3+c^3=3abc\) là đúng khi \(a+b+c=0\)

Ta có: \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow\) \(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)c\left(a+b+c\right)-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b+c\right)^2-3\left(a+b\right)c-3ab\right]=0\)(điều này đúng vì a+b+c=0)

\(\Rightarrow\) \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

a) \(27x^3+27x^2+9x+1\)

= \(\left(3x\right)^3+3.\left(3x\right)^2.1+3.1^2.3x+1^3\)

= \(\left(3x+1\right)^3\) (1)

Thay x=13 vào pt(1),ta được:

\(\left(3x+1\right)^3=\left(3.13+1\right)^3=40^3=64000\)

b) \(x^3+12x^2+48x+65\)

= \(x^3+3.x^2.4+3.4^2.x+4^3+1\)

= \(\left(x+4\right)^3+1\) (2)

Thay x=6 vào pt(2),ta được:

\(\left(x+4\right)^3+1=\left(6+4\right)^3+1=10^3+1=1001\)

Cuộc thi bị hoãn lại vì bên tổ chức bận việc quan trọng,phải xử lí gấp.Mong các thí sinh thông cảm và đợi 3 ngày nữa.Chân thành cảm ơn.

Ta có:

A= \(\left(a+1\right)\left(a+3\right)\left(a+5\right)\left(a+7\right)+15\)

= \(\left[\left(a+1\right)\left(a+7\right)\right].\left[\left(a+3\right)\left(a+5\right)\right]+15\)

= \(\left(a^2+8a+7\right).\left(a^2+8a+15\right)+15\)

Đặt \(t=a^2+8a+11\)

\(\Rightarrow\) A= \(\left(t-4\right)\left(t+4\right)\) +15

= \(t^2-16+15\)

= \(t^2-1\)

= \(\left(t+1\right)\left(t-1\right)\)

= \(\left(a^2+8a+11+1\right)\left(a^2+8a+11-1\right)\)

= \(\left(a^2+8a+10\right)\left(a^2+8a+12\right)\)

Chúc bạn học tốt.