a) Ta có: AB²+AC²=6²+8²=36+64=100

Mà BC²=10²=100

\(\Rightarrow\) AB²+AC²=BC²

\(\Rightarrow\) tam giác ABC vuông tại A(Định lí py-ta-go đảo)

b) Ta có 2S_ABC=AB.AC=AH.BC

Hay 6.8=10.AH

\(\Rightarrow\) \(AH=\dfrac{6.8}{10}=\dfrac{48}{10}=4,8\left(cm\right)\)

Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác vuông BHA,ta được:

AB²=AH²+BH²

\(\Rightarrow\) BH²=AB²-AH²

hay BH²=6²-4,8²=36-23,04=12,96

\(\Rightarrow\) BH= \(\sqrt{12,96}\)=3,6(cm)

Ta có \(\widehat{BAC}=\widehat{AMH}=\widehat{ANH}\) = 90^o

\(\Rightarrow\) AMNH là hình chữ nhật.

\(\Rightarrow\) MN=AH(vì MN,AH là đường chéo hình chữ nhật)

\(\Rightarrow\) MN=4,8(cm)

c)Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác vuông AHC,ta được:

\(AH^2+HC^2=AC^2\)

\(\Rightarrow\) HC²=AC²-AH²=8²-4,8²= 64-23,04=40,96

\(\Rightarrow\) HC=\(\sqrt{40,96}=6,4\)(cm)

Ta có: 2S_AHC=AH.HC=HN.AC

\(\Rightarrow\) \(HN=\dfrac{AH.HC}{AC}\)=\(\dfrac{4,8.6,4}{8}\)=\(\dfrac{96}{25}\)=3,84(cm)

Ta tiếp tục áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác vuông AHN,ta được:

\(AH^2=AN^2+HN^2\)

\(\Rightarrow\) HN²=AH²-AN²=4,8²-3,84²=8,2944

\(\Rightarrow\) HN=\(\sqrt{8,2944}=2,88\)(cm)

Từ đó suy ra S_MHNA=HN.AN=3,84.2,88=11,0592(cm²)

d) Gọi O là giao điểm của MN và AH

Ta có: MHNA là hình chữ nhật

\(\Rightarrow\) MO=OA(vì hai đường chéo trong hình chữ nhật bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

\(\Rightarrow\) tam giác MOA cân tại O

\(\Rightarrow\) \(\widehat{OMA}=\widehat{OAM}\)

Ta có \(\widehat{OAM}=\widehat{BCA}\)(cùng phụ \(\widehat{ABC}\))

\(\Rightarrow\) \(\widehat{OMA}=\widehat{BCA}\)

hay \(\widehat{AMN}=\widehat{BCA}\).

Chúc bạn học tốt.

Mình sửa đề chút từ H kẻ HD vuông góc với AB.

Xét tam giác HDA và tam giác BHA có:

\(\widehat{HDA}\) = \(\widehat{BHA}\) (=90^o)

\(\widehat{DAH}\) chung

\(\Rightarrow\) Tam giác HDA đồng dạng với tam giác BHA (g.g)

Vì tam giác HDA đồng dạng với tam giác BHA(cmt)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AD}{AH}\)

\(\Rightarrow\) \(AH^2=AD.AB\)

B) C1: Sử dụng hệ thức lượng giác:

Ta có AH là đường cao trong tam giác ABC vuông tại A

\(\Rightarrow\) AH²= HB.HC(1)

Mà AH²= AB.AD(cmt)(2)

(1),(2) \(\Rightarrow\) HB.HC = AB.AD

C2: Xét tam giác đồng dạng:

Xét tam giác HBA và tam giác HAC có:

\(\widehat{BHA}=\widehat{CHA} \) ( =90^o)

\(\widehat{HAB}=\widehat{HCA} \) (cùng phụ \(\widehat{ABH}\))

\(\Rightarrow\) tam giác HBA đồng dạng với tam giác HAC(g.g)

Vì tam giác HBA đồng dạng với tam giác HAC(cmt)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{AH}{HC}=\dfrac{HB}{AH}\)

\(\Rightarrow\) AH²= HB.HC(1)

Mà AH²=AB.AD(cmt)(2)

Từ (1),(2) \(\Rightarrow\) AB.AD=HB.HC

a) Với a=-1,thay vào hệ phương trình,ta được:

\(\begin{cases} x+3y=1\\ 6y=-2 \end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} x+3y=1\\ y=\dfrac{-1}{3} \end{cases}\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} x+3.\dfrac{-1}{3}=1\\ y=\dfrac{-1}{3} \end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} x-1=1\\ y=\dfrac{-1}{3} \end{cases}\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} x=2\\ y=\dfrac{-1}{3} \end{cases}\)

Với a=-1 thì hệ phương trình có tập nghiệm (x;y)=(2;\(\dfrac{-1}{3}\))

b) Với a=0, thay vào hệ phương trình ta được:

\(\begin{cases} x+3y=1\\ x+6y=0 \end{cases}\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} x+3y=1\\ -3y=1 \end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} x+3y=1\\ y=\dfrac{-1}{3} \end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases} x+3.\dfrac{-1}{3}=1\\ y=\dfrac{-1}{3} \end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} x-1=1\\ y=\dfrac{-1}{3} \end{cases}\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} x=2\\ y=\dfrac{-1}{3} \end{cases}\)

Với a=0 thì hệ phương trình có tập nghiệm (x;y)=(2;\(\dfrac{-1}{3}\))

c) Với a=1, thay vào hệ phương trình ta được:

\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} x+3y=1\\ 2x+6y=2 \end{cases}\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} 2x+6y=2\\ 2x+6y=2 \end{cases}\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} x=\dfrac{2-6y}{2}\\ y \in R \end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} x=1-3y\\ y \in R \end{cases}\)

Hệ phương trình có vô số nghiệm với x,y có dạng x=1-3y.

Ta cần CM BĐT a³+b³+c³=3abc luôn đúng với a+b+c=0

ta có \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow\) \(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(\left(a+b\right)+c\right)^3-3\left(a+b\right)c\left(a+b+c\right)\)\(-3ab\left(a+b+c\right)\)=0

\(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b+c\right)\left(\left(a+b+c\right)^2-3\left(a+b\right)c-3ab\right)\)=0(đúng vì a+b+c=0)

Vậy \(a^3+b^3+c^3=3abc\) với a+b+c=0

b) (x-5)(x-9)>0

\(\Leftrightarrow\) \(\left[\begin{array}{} \begin{cases} x-5>0\\ x-9>0 \end{cases}\\ \begin{cases} x-5<0\\ x-9<0 \end{cases} \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow\) \(\left[\begin{array}{} \begin{cases} x>5\\ x>9 \end{cases}\\ \begin{cases} x<5\\ x<9 \end{cases} \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow\) \(\left[\begin{array}{} x>9\\ x<5 \end{array} \right.\)

Từ đó suy ra đpcm.

mik nhanh nhất sao ko tích cho mik ???

Ta có:

P=x²+y²+z²+xy+yz+zx

\(\Rightarrow\) 2P= 2x²+2y²+2z²+2xy+2yz+2xz

= (x+y+z)²+x²+y²+z²

= 9+x²+y²+z²

Ta có x²+y²+z²\(\geq\) xy+yz+zx

\(\Leftrightarrow\) 3(x²+y²+z²)\(\geq\) x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx

\(\Leftrightarrow\) 3(x²+y²+z²)\(\geq\) (x+y+z)²

\(\Leftrightarrow\) x²+y²+z²\(\geq\) \(\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\) ⁽¹⁾

Từ đó suy ra: 9 + x²+y²+z²\(\geq\) 9+\(\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\) = 9+\(\dfrac{9}{3}\)=9+3=12

\(\Rightarrow\) 2P\(\geq\)12

\(\Rightarrow\) P\(\geq\)6

Dấu = xảy ra khi x=y=z=1

Vậy Min_P = 6 khi x=y=z=1

có: (80-10):1+1=71 (số)

a) x²-3=(x-\(\sqrt{3}\))(x+\(\sqrt{3}\))

b) x²-6=(x-\(\sqrt{6}\))(x+\(\sqrt{6}\))

c) x²+2\(\sqrt{3}\)x +3 = x² + 2.x.\(\sqrt{3}\) + (\(\sqrt{3}\))²= (x+\(\sqrt{3}\))²=(x+\(\sqrt{3}\))(x+\(\sqrt{3}\)).

d) x²-2\(\sqrt{5}\) x+ 5 = x² - 2.x.\(\sqrt{5}\) + (\(\sqrt{5}\))² = (x-\(\sqrt{5}\))²= (x-\(\sqrt{5}\))(x-\(\sqrt{5}\)).