Đặt \(A=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^3}-...-\frac{1}{2^{2014}}\)(1)

=>\(\frac{1}{2}.A=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^3}-\frac{1}{2^4}-...-\frac{1}{2^{2015}}\)(2)

Trừ (1) cho (2) theo vế ta được: \(A-\frac{1}{2}.A=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2015}}\)

(chú ý quy tắc bỏ dấu ngoặc)

hay \(\frac{1}{2}.A=\frac{1}{2^{2015}}\)

=>\(A=\frac{1}{2^{2014}}\)

Vì 0 < 2²⁰¹⁴ < 2²⁰¹⁵ => \(\frac{1}{2^{2014}}>\frac{1}{2^{2015}}\) => điều phải chứng minh.

Xét:

-a.( b - c ) - b.( c - a ) + c.( b - a )

= -a.b + a.c - b.c + b.a + c.b - c.a

=( -a.b + b.a )+( a.c - c.a ) + ( -b.c + c.b )

=0 + 0 + 0

=0

=> -a.( b - c ) - b.( c - a ) = -c.( b - a )

664,6902                                                 

ĐKXĐ: x khác 0

Ta có: A=\(\frac{4x^2-2x+1}{x^2}=4-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}\)

=\(\left(\frac{1}{x}\right)^2-2.\frac{1}{x}.1+1^2+3\)

=\(\left(\frac{1}{x}-1\right)^2+3\ge3\)

Min A = 3 khi và chỉ khi \(\left(\frac{1}{x}-1\right)^2=0\)

<=> \(\frac{1}{x}=1\)

<=>x=1(thỏa mãn ĐKXĐ)

Đặt 23x=34y=45z=k(k khác 0)

=>x=k/23, y=k/34, z=k/45, thay vào x+y+z=147 ta có:

k/23+k/34+k/45=147

<=>1530k+1035k+782k=5172930

<=>3347k=5172930

<=>k=5172930/3347

=>x=5172930/76981, y=2586465/56899,

z=1034586/30123

x-12=y-34=z-56

=>x=z-44, y=z-22, thay vào 3x-2y+z=4 ta có:

3(z-44)-2(z-22)+z=4

<=>3z-132-2z+44+z=4

<=>2z=92

<=>z=46

=>x=46-44=2, y=46-22=24

x:y:z=2:3:(-4)

=>\(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{-4}\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{-4}=\frac{x-y+z}{2-3+\left(-4\right)}=\frac{-125}{-5}=25\)

=>x=2.25=50, y=3.25=75, z=-4.25=-100

Kết luận.

a) Bpt<=>\(x^2-2\left(1+\sqrt{2}\right)x+\left(1+\sqrt{2}\right)^2>0\)

<=>\(\left(x-1-\sqrt{2}\right)^2>0\)

<=>\(x-1-\sqrt{2}\ne0\)

<=>\(x\ne1+\sqrt{2}\)

Ta có:

\(x^4+4=\left(x^4+4x^2+4\right)-4x^2\)

=\(\left(x^2+2\right)^2-\left(2x\right)^2=\left(x^2+2x+2\right)\left(x^2-2x+2\right)\)

=> \(x^4+4\) chia hết cho \(x^2+2x+a\) khi \(\left(x^2+2x+2\right)\left(x^2-2x+2\right)⋮\left(x^2+2x+a\right)\)

=> a = 2.

15% của 20 là: 15%.20=\(\frac{3}{20}.20=3\)