Cho x,y là 2 số dương có tổng bằng 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=\left(\dfrac{1}{x}+x\right)^2+\left(\dfrac{1}{y}+y\right)^2\)

Cho đường tròn (O;R), 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đường kia AB lấy E sao cho AE=R\(\sqrt{2}\). Vẽ dây CF đi qua E. Tiếp tuyến của đường tròn tại F cắt CD tại M, vẽ AF cắt CD tại N. Chứng minh: MN,OD,OM là độ dài 3 cạnh của tam giác vuông

Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm 0, bán kính R. Gọi M là 1 điểm bất kì thuộc cung BC

a, Chứng minh MA=MB+MC

b, Gọi AM giao BC tại D. Chứng minh\(\dfrac{MD}{MB}+\dfrac{MD}{MC}=1\)

Tam giác ABC nội tiếp đường tròn O, các đường cao AD,BE,CF cắt đường tròn tâm O theo thứ tự M,N,K

Chứng minh: \(\dfrac{AM}{AD}+\dfrac{BN}{BE}+\dfrac{CK}{CF}=4\)

Qua điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến ABC. Gọi E là điểm chính giữa của cung BC,DE là đường kính của đường tròn. AD cắt đường tròn tại I, IE cắt BC tại K. Chứng minh rằng: AC.BK=AB.KC