Soeasy''ss :v

Ta có: BĐT đã cho ;v

\(\Leftrightarrow a^4+ab^3+ba^3+b^4\le2\left(a^4+b^4\right)\)

\(\Leftrightarrow0\le a^4+b^4-ab^3-ba^3\)

\(\Leftrightarrow0\le a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\)

\(\Leftrightarrow0\le\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\)(Luônđúng)

Vậy ta có đpcm

Cmt đầu: Đã xem.............

P/S: Sư phụ chú là ai?

BT2: Nhân 2 lên, chuyển vế, biến đổi bla..... sẽ ra đpcm

Đã xem.....

a) \(x^2+3ab\left(2-3ab\right)-10xy-1+25y^2\)

\(=\left(x^2-10xy+25y^2\right)+6ab-9a^2b^2-1\)

\(=\left(x-5y\right)^2-\left(9a^2b^2-6ab+1\right)\)

\(=\left(x-5y\right)^2-\left(3ab-1\right)^2\)

\(=\left(x-5y-3ab+1\right)\left(x-5y+3ab-1\right)\)

b) \(a^5+a^4+a^3+a^2+a+1\)

\(=a^4\left(a+1\right)+a^2\left(a+1\right)+a+1\)

\(=\left(a^4+a^2+1\right)\left(a+1\right)\)

c) \(x^3-1+5x^2-5+3x-3\)

\(=\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)+5\left(x^2-1\right)+3\left(x-1\right)\)

\(=\left(x-1\right)\left[x^2+x+1+5\left(x+1\right)+3\right]\)

\(=\left(x-1\right)\left(x^2+6x+9\right)=\left(x-1\right)\left(x+3\right)^2\)

\(P=\left(1-x\right)\left(3x-1\right)\)

\(=\dfrac{3\left(1-x\right)\left(3x-1\right)}{3}=\dfrac{\left(3-3x\right)\left(3x-1\right)}{3}\)

Áp dụng BĐT Cauchy

\(P\le\dfrac{\left(3-3x+3x-1\right)^2}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{2^2}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{1}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=\dfrac{2}{3}\)

Bài 2: \(Min_C=\dfrac{\sqrt{6}}{12}\), chưa biết dùng Cauchy để tìm Min nên không post cách làm

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

\(VT\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x^2.y^2.z^2}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}}=3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}}\)

Ta có: xyz=1 và x,y,z >0

\(\Rightarrow x\le1\Rightarrow x+1\le2\Rightarrow\dfrac{1}{x+1}\ge\dfrac{1}{2}\)

Tương tự \(\dfrac{1}{y+1}\ge\dfrac{1}{2}\)

\(\dfrac{1}{z+1}\ge\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow VT\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{x+1}.\dfrac{1}{y+1}.\dfrac{1}{z+1}}=\dfrac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1