a/ Ta có:

P=\(\left(\dfrac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}+1\right).\left(\dfrac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}-1\right)\)

= \(\dfrac{a+\sqrt{a}+\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+1}.\dfrac{a-\sqrt{a}-\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}\)

= \(\dfrac{\left(\sqrt{a}+1\right)^2}{\sqrt{a}+1}.\dfrac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{a}-1}\)

= \(\left(\sqrt{a}+1\right).\left(\sqrt{a}-1\right)=a-1\) (điều cần chứng minh)

Vậy P=a-1

b/ Ta có:

\(a=\sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{3+2\sqrt{3}+1}\)= \(\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}=\sqrt{3}+1\)

Thay \(a=\sqrt{3}+1\) vào P ta được:

P= \(\sqrt{3}+1-1=\sqrt{3}\)

Vậy khi \(a=\sqrt{4+2\sqrt{3}}\) thì P= \(\sqrt{3}\)

Este đơn chức X có tỉ khối hơi so với CH₄ là 6,25. Cho 20 gam X tác dụng với 300 ml dung dịch KOH 1M (đun nóng). Cô cạn dung dịch sau phản ứng thu được 28 gam chất rắn khan. Công thức cấu tạo của X là

A. CH₃CH₂COOCH=CH₂

B. CH₂=CHCOOCH₂CH₃

C. CH₂=CHCH₂COOCH₃

D. CH₃COOCH=CHCH₃

Đổi: 2h30'=\(\dfrac{5}{2}\) h

Gọi x(h) là thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể

y(h) là thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể

đk: x,y>\(\dfrac{5}{2}\)

\(\dfrac{1}{x}\) (phần ) là phần bể vòi 1 chảy một mình trong 1h

\(\dfrac{1}{y}\) (phần) là phần bể vòi 2 chảy một mình trong 1h

Vì trong 1h 2 vòi chảy được 1:\(\dfrac{5}{2}=\dfrac{2}{5}\) (phần bể) nên ta có phương trình:

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{2}{5}\left(1\right)\)

Vòi 1 chảy trong 1h rồi mở vòi 2 để cả 2 vòi chảy chung trong 2h nữa nên vòi 1 chảy trong 1h+2h=3h, vòi 2 chảy trong 2h thì đầy bể

\(\dfrac{3}{x}\) (phần) là phần bể vòi 1 chảy một mình trong 3h

\(\dfrac{2}{y}\) (phần) là phần bể vòi 2 chảy một mình trong 2h

Vì nếu vòi 1 chảy trong 1h rồi mở thêm vòi 2 để cả 2 vòi chảy chung trong 2h thì đầy bể nên ta có phương trình:

\(\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{y}=1\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{2}{5}\\\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{y}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{y}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{5}\\\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{y}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=5\\\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{5}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=5\\\dfrac{3}{x}=\dfrac{3}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=5\\x=5\end{matrix}\right.\) (tmđk)

Vây vòi 1 chảy riêng trong 5h thì đầy bể

vòi 2 chảy riêng trong 5h thì đầy bể

\(x^2-mx+m+1=0\left(1\right)\)

Xét phương trình (1), áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1.x_2=m+1\end{matrix}\right.\)

Theo đề bài ta có:
\(x_1^2+x_2^2=6\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=6\)

\(\Leftrightarrow m^2-2\left(m+1\right)=6\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m-8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-4\right)\left(m+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m-4=0\\m+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=4\\m=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy để phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn \(x_1^2+x_2^2=6\) thì m=4 hoặc m=-2

\(\left(x^2-2x+3\right)\left(2x-x^2+6\right)=18\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x+3\right)\left[-\left(x^2-2x+3\right)+9\right]=18\)

Đặt \(t=x^2-2x+3\left(t\ge0\right)\) ta có:

\(t\left(-t+9\right)=18\)

\(\Leftrightarrow t^2-9t+18=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-6\right)\left(t-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t-6=0\\t-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=6\\t=3\end{matrix}\right.\) (tmđk)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-2x+3=6\\x^2-2x+3=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-2x-3=0\\x^2-2x=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(x-3\right)\left(x-1\right)=0\\x\left(x-2\right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-3=0\\x-1=0\\x=0\\x-2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=1\\x=0\\x=2\end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình đã cho có \(S=\left\{3;1;0;2\right\}\)

= \(\left[\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}-\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\right].\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\)

= \(\dfrac{b-a}{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}.\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\)

= b-a

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+xy=7\\x^2+y^2=10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+xy=7\\\left(x+y\right)^2-2xy=10\end{matrix}\right.\) (1)

Đặt x+y=t (đk t\(\ge0\) ) ta có:

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}t+xy=7\\t^2-2xy=10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2t+2xy=14\\t^2-2xy=10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}t^2+2t-24=0\\t^2-2xy=10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(t-4\right)\left(t+6\right)=0\\t^2-2xy=10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}t=4\left(tm\right)\\t=-6\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\\t^2-2xy=10\end{matrix}\right.\)

Với t=4 thì x+y=4

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=4\\x^2+y^2=10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4-y\\\left(4-y\right)^2+y^2=10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4-y\\2y^2-8y+6=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4-y\\\left(y-1\right)\left(y-3\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4-y\\\left[{}\begin{matrix}y-1=0\\y-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow}\end{matrix}\right.\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=1\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}y=1\\y=3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(3;1\right)\) hoặc \(\left(x;y\right)=\left(1;3\right)\)

Phương trình \(x^2-2mx+m^2+m-5=0\left(1\right)\)

Xét phương trình (1) có:

\(\Delta=4m^2-4\left(m^2+m-5\right)\)

= \(20-4m\)

Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\Leftrightarrow20-4m>0\Leftrightarrow m< 5\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1.x_2=m^2+m-5\end{matrix}\right.\)

Theo đề bài ta có:

\(2\left(x_1^2+x_2^2\right)-3x_1x_2=29\)

\(\Leftrightarrow2\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]-3x_1x_2=29\)

\(\Leftrightarrow2\left[4m^2-2\left(m^2+m-5\right)\right]-3\left(m^2+m-5\right)=29\)

\(\Leftrightarrow2\left(10-2m\right)-3\left(m^2+m-5\right)=29\)

\(\Leftrightarrow-3m^2-7m+6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3m-2\right)\left(m+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3m-2=0\\m+3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{2}{3}\\m=-3\end{matrix}\right.\) (tmđk)

Vậy để phương trình \(x^2-2mx+m^2+m-5=0\) có 2 nghiệm phân biệt x₁ và x₂ thỏa mãn \(2\left(x_1^2+x_2^2\right)-3x_1x_2=29\) thì \(m=\dfrac{2}{3}\) hoặc \(m=-3\)

bn có thể ghi đề bài ra k z

\(B=\dfrac{3+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}+\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}-\left(3+\sqrt{3}-2\sqrt{2}\right)\)

= \(\dfrac{\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+2\right)}{\sqrt{3}}+\dfrac{2\sqrt{2}\left(\sqrt{2}-1\right)}{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}-3-\sqrt{3}+2\sqrt{2}\)

= \(\sqrt{3}+2+4-2\sqrt{2}-3-\sqrt{3}+2\sqrt{2}\)

= 3