Phương trình: \(\left(m-1\right)x^2-2mx+m+1=0\left(1\right)\) đk: \(m\ne1\)

Xét phương trình (1) có:

\(\Delta=4m^2-4\left(m-1\right)\left(m+1\right)\)

= \(4m^2-4m^2+4=4\)

Vì 4>0 \(\Leftrightarrow\Delta>0\)

\(\Rightarrow\) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2m}{m-1}\\x_1.x_2=\dfrac{m+1}{m-1}\end{matrix}\right.\)

Theo đề bài ta có:

\(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}+\dfrac{5}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}+\dfrac{5}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}+\dfrac{5}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2}{x_1x_2}-2+\dfrac{5}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{2m}{m-1}\right)^2:\dfrac{m+1}{m-1}+\dfrac{1}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4m^2}{\left(m-1\right)^2}.\dfrac{m-1}{m+1}+\dfrac{1}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4m^2}{\left(m-1\right)\left(m+1\right)}+\dfrac{1}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow8m^2+\left(m-1\right)\left(m+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow9m^2-1=0\)

\(\Leftrightarrow m^2=\dfrac{1}{9}\)

\(\Leftrightarrow m=\pm\dfrac{1}{3}\) (tm)

Vậy để phương trình (1) có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}+\dfrac{5}{2}=0\) thì \(m=\pm\dfrac{1}{3}\)

Xét phương trình hoành độ của (p) và (d) thỏa mãn phương trình:

\(x^2=2x-m+3\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x+m-3=0\left(1\right)\)

Xét phương trình (1) có:

\(\Delta=4-4\left(m-3\right)\)

= \(16-4m\)

Để (p) cắt (d) tại 2 điểm phân biệt thì \(\Delta>0\Leftrightarrow16-4m>0\Leftrightarrow m< 4\)

Với m<4 thì (p) cắt (d) tại 2 điểm phân biệt, ta có:

\(x_1=\dfrac{2-\sqrt{\Delta}}{2}\Rightarrow y_1=\dfrac{\left(2-\sqrt{\Delta}\right)^2}{4}\)

\(x_2=\dfrac{2+\sqrt{\Delta}}{2}\Rightarrow y_2=\dfrac{\left(2+\sqrt{\Delta}\right)^2}{4}\)

Theo đề bài ta có:

\(x_1x_2\left(y_1+y_2\right)=-6\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2-\sqrt{\Delta}}{2}.\dfrac{2+\sqrt{\Delta}}{2}\left[\dfrac{\left(2-\sqrt{\Delta}\right)^2}{4}+\dfrac{\left(2+\sqrt{\Delta}\right)^2}{4}\right]=-6\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(2-\sqrt{\Delta}\right)\left(2+\sqrt{\Delta}\right)}{4}.\dfrac{4-4\sqrt{\Delta}+\Delta+4+4\sqrt{\Delta}+\Delta}{4}=-6\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4-\Delta}{4}.\dfrac{8+2\Delta}{4}=-6\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2\left(4-\Delta\right)\left(4+\Delta\right)}{16}=-6\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{16-\Delta^2}{8}=-6\)

\(\Leftrightarrow16-\Delta^2=-48\)

\(\Leftrightarrow\Delta^2=64\)

\(\Leftrightarrow\Delta=8\Leftrightarrow16-4m=8\Leftrightarrow m=2\) (tm)

Vậy để (p) và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt có tọa độ \(\left(x_1;y_1\right);\left(x_2;y_2\right)\) thỏa mãn điều kiện \(x_1x_2\left(y_1+y_2\right)=-6\) thì m=2

a/ ĐKXĐ: \(x\ne\pm2\)

N= \(\left(\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{2x}{4-x^2}+\dfrac{1}{2+x}\right).\left(\dfrac{2}{x}-1\right)\)

= \(\left(\dfrac{-1}{2-x}-\dfrac{2x}{\left(2-x\right)\left(2+x\right)}+\dfrac{1}{2+x}\right).\dfrac{2-x}{x}\)

= \(\dfrac{-\left(2+x\right)-2x+2-x}{\left(2-x\right)\left(2+x\right)}.\dfrac{2-x}{x}\)

= \(\dfrac{-4x\left(2-x\right)}{x\left(2-x\right)\left(2+x\right)}\)

= \(\dfrac{-4}{2+x}\) (1)

b/ Ta có:

\(2x^2+x=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(2x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\2x+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=\dfrac{-1}{2}\end{matrix}\right.\) (t/m đk)

Thay x=0 vào (1) ta được:

\(N=\dfrac{-4}{2+0}=\dfrac{-4}{2}=-2\)

Vậy khi x=0 thì N=-2

Thay \(x=\dfrac{-1}{2}\) vào (1) ta được:

\(N=\dfrac{-4}{2-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{-4}{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{-8}{3}\)

Vậy khi \(x=\dfrac{-1}{2}\) thì \(N=\dfrac{-8}{3}\)

c/ Với \(x\ne\pm2\)

Để \(N=\dfrac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{-4}{2+x}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-8}{2\left(2+x\right)}=\dfrac{2+x}{2\left(2+x\right)}\)

\(\Leftrightarrow-8-2-x=0\)

\(\Leftrightarrow x=-10\) (t/m đk)

Vậy để \(N=\dfrac{1}{2}\) thì x=-10

a/ Thay m=-1 vào phương trình (1) ta được:

\(x^2-x-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2=0\\x+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy khi m=-1 thì phương trình (1) có \(S=\left\{2;-1\right\}\)

b/ Xét phương trình (1) có

\(\Delta=\left(m+2\right)^2-4.2m\)

= \(m^2-4m+4=\left(m-2\right)^2\)

Ta có: \(\left(m-2\right)^2\ge0\) với mọi m

\(\Leftrightarrow\Delta\ge0\) với mọi m

\(\Rightarrow\) Phương trình (1) có 2 nghiệm với mọi m

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+2\\x_1.x_2=2m\end{matrix}\right.\)

Theo đề bài ta có:

\(\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2\le5\)

\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2-2m\le5\)

\(\Leftrightarrow m^2+2m-1\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(m+1-\sqrt{2}\right)\left(m+1+\sqrt{2}\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}m+1-\sqrt{2}\ge0\\m+1+\sqrt{2}\le0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}m+1-\sqrt{2}\le0\\m+1+\sqrt{2}\ge0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}m\ge-1+\sqrt{2}\\m\le-1-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}m\le-1+\sqrt{2}\\m\ge-1-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-1+\sqrt{2}\le m\le-1-\sqrt{2}\left(ktm\right)\\-1-\sqrt{2}\le m\le-1+\sqrt{2}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

vậy để phương trình (1) có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2\le5\) thì \(-1-\sqrt{2}\le m\le-1+\sqrt{2}\)

Gọi x(sản phẩm) là số sản phẩm tổ 1 phải làm theo kế hoạch

đk: \(0< x< 800,x\in Z^+\)

800-x(sản phẩm) là số sản phẩm tổ 2 phải làm theo kế hoạch

0,1x(sản phẩm ) là số sản phẩm tổ 1 làm thêm được

0,2(800-x) (sản phẩm ) là số sản phẩm tổ 2 làm thêm được

Vì cả 2 tổ làm thêm được 910-800=110(sản phẩm) nên ta có phương trình:

\(0,1x+0,2\left(800-x\right)=110\)

\(\Leftrightarrow0,1x-160-0,2x=110\)

\(\Leftrightarrow0,1x=50\)

\(\Leftrightarrow x=500\left(tmđk\right)\)

Vậy theo kế hoạch, tổ 1 phải làm 500 sản phẩm

tổ 2 phải làm 800-500=300 sản phẩm

Gọi x(xe) là số xe lúc đầu của đội

đk: x>0, x\(\in Z^+\)

\(\dfrac{120}{x}\) (tấn) là khối lượng hàng mỗi xe phải chở lúc đầu

x+5(xe) là số xe lúc sau của đội

\(\dfrac{120}{x+5}\) (tấn) là khối lượng hàng mỗi xe phải chở lúc sau

Vì sau khi được bổ sung thêm 5 xe cùng loại thì mỗi xe phải chở ít hơn 2 tấn nên ta có phương trình:

\(\dfrac{120}{x}-2=\dfrac{120}{x+5}\)

\(\Leftrightarrow120x-2x\left(x+5\right)=120x\)

\(\Leftrightarrow2x^2+10x-600=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-15\right)\left(x+20\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-15=0\\x+20=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=15\left(tm\right)\\x=-20\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy số xe lúc đầu của đội là 15 xe

Gọi x(km/h) là vận tốc của xe mô tô lúc đi

đk: x>0

4x(km) là quãng đường AB

x+10(km/h) là vận tốc lúc về của xe

4-1=3(h) là thời gian lúc về của xe

Ta có phương trình:

4x=3(x+10)

\(\Leftrightarrow4x=3x+30\)

\(\Leftrightarrow x=30\) (tmđk)

Vậy vận tốc lúc đi của xe mô tô là 30km/h

quãng đường AB là: 30.4=120(km)

Bn kt lại biểu thức thứ nhất đi...hình như đề sai

ĐKXĐ: \(x\ge0,x\ne1\)

\(M=\dfrac{15\sqrt{x}-11}{x+2\sqrt{x}-3}-\dfrac{3\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}\)

= \(\dfrac{15\sqrt{x}-11}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}-\dfrac{3\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}\)

= \(\dfrac{15\sqrt{x}-11-\left(3\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)-\left(2\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

= \(\dfrac{-5x+7\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

= \(\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(2-5\sqrt{x}\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}=\dfrac{2-5\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}\)

ĐKXĐ: \(x\ge0,x\ne9\)

\(M=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\dfrac{3x+9}{x-9}\)

= \(\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)+2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)-3x-9}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

= \(\dfrac{3\sqrt{x}-9}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

= \(\dfrac{3\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}=\dfrac{3}{\sqrt{x}+3}\)