Question

Cho biểu thức P=\((\dfrac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}+1).(\dfrac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}-1)\) với a\(\ge0;a\ne1\)

a, CM ; P=a-1

b, tính giá trị của P khi a=\(\sqrt{4+2\sqrt{3}}\)

Answer 1

a/ Ta có:

P=\(\left(\dfrac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}+1\right).\left(\dfrac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}-1\right)\)

= \(\dfrac{a+\sqrt{a}+\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+1}.\dfrac{a-\sqrt{a}-\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}\)

= \(\dfrac{\left(\sqrt{a}+1\right)^2}{\sqrt{a}+1}.\dfrac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{a}-1}\)

= \(\left(\sqrt{a}+1\right).\left(\sqrt{a}-1\right)=a-1\) (điều cần chứng minh)

Vậy P=a-1

b/ Ta có:

\(a=\sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{3+2\sqrt{3}+1}\)= \(\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}=\sqrt{3}+1\)

Thay \(a=\sqrt{3}+1\) vào P ta được:

P= \(\sqrt{3}+1-1=\sqrt{3}\)

Vậy khi \(a=\sqrt{4+2\sqrt{3}}\) thì P= \(\sqrt{3}\)