x² - y² = ( x - y )( x + y ) = 8
 

Câu hỏi của Hắc Dương - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

1) Ta c/m BĐT sau:

Với a, b > 0 thì \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^3-a^2b\right)+\left(b^3-ab^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng vì a, b > 0)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

Như vậy ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\\y^3+z^3\ge yz\left(y+z\right)\\z^3+x^3\ge zx\left(z+x\right)\end{matrix}\right.\)

Do đó \(VT\ge\dfrac{\sqrt{xyz+xy\left(x+y\right)}}{xy}+\dfrac{\sqrt{xyz+yz\left(y+z\right)}}{yz}+\dfrac{\sqrt{xyz+zx\left(z+x\right)}}{zx}\)

\(=\dfrac{\sqrt{xy\left(x+y+z\right)}}{xy}+\dfrac{\sqrt{yz\left(x+y+z\right)}}{yz}+\dfrac{\sqrt{zx\left(x+y+z\right)}}{zx}\)

\(=\sqrt{x+y+z}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}\right)\)

\(=\sqrt{x+y+z}.\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{xyz}}\)

\(=\sqrt{x+y+z}.\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)

\(\ge\sqrt{3\sqrt[3]{xyz}}.3\sqrt[3]{\sqrt{xyz}}=3\sqrt{3}\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

\(A=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}\)

\(=\left(\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}\right)+\dfrac{1}{2ab}\)

\(\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{a^2+2ab+b^2}+\dfrac{1}{2.\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}}\)

\(=\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+\dfrac{1}{\dfrac{2.1}{4}}=6\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)

3. \(x^2+3^y=3126\) (1)

- Nếu y=0 thì pt ko có nghiệm \(x,y\in N\)

- Nếu \(y\ge1\) thì \(3^y⋮3\) mà \(3126⋮3\) nên \(x^2⋮3\)

\(\Rightarrow x⋮3\)

Đặt \(x=3k\left(k\in N\right)\) thay vào (1)

\(9k^2+3^y=3126\)

\(\Leftrightarrow3k^2+3^{y-1}=1042\)

\(\Leftrightarrow3^{y-1}=1042-3k^2\)

Do đó \(3^{y-1}⋮̸3\Rightarrow y-1=0\Rightarrow y=1\)

Tìm x tiếp nha

http://olm.vn/hoi-dap/question/282238.html