1. Câu hỏi của Trần Huỳnh Thanh Long - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

\(A=\dfrac{x^3-27}{x-3}+5x\)

\(=\dfrac{\left(x-3\right)\left(x^2+3x+9\right)}{x-3}+5x\)

\(=x^2+3x+9+5x\)

\(=x^2+8x+9\)

\(=\left(x+4\right)^2-7\ge-7\)

Vậy \(A_{min}=-7\) tại \(\left(x+4\right)^2=0\Leftrightarrow x=-4\)

Với a, b, c > 0 ta có BĐT sau

\(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\) (*)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Theo BĐT (*), nếu thay \(a=x;b=y;c=z\) thì

\(x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\dfrac{1^2}{3}=\dfrac{1}{3}\)

Theo BĐT (*), nếu thay \(a=x^2;b=y^2;c=z^2\) thì

\(x^4+y^4+z^4\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{3}\right)^2}{3}=\dfrac{1}{27}\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y=z\\x+y+z=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

Ta có \(x+y+z=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)+\left(y-2\sqrt{yz}+z\right)+\left(z-2\sqrt{zx}+x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2=0\) (*)

Với mọi \(x,y,z>0\) ta đều có

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\\\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2\ge0\\\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0\)

Đẳng thức xảy ra tại (*) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2=0\\\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2=0\\\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=y=z\)

Ta có \(5^{15}\equiv89\left(mod132\right)\)

\(\Rightarrow3.5^{75}=3.\left(5^{15}\right)^5\equiv3.89^5\equiv3\left(mod132\right)\)

và \(4.7^{10}\equiv4\left(mod132\right)\)

\(\Rightarrow3.5^{75}+4.7^{10}\equiv7\left(mod132\right)\)

Ta có \(5^{12}\equiv625\left(mod1000\right)\)

\(\Rightarrow6^{5^{12}}\equiv6^{625}\left(mod1000\right)\)

Lại có \(6^{16}\equiv456\left(mod1000\right)\)

\(\Rightarrow6^{625}=\left(6^{16}\right)^{39}.6\equiv456^{39}.6=\left(456^4\right)^3.456^3.6\)

\(\equiv96^3.896\equiv456\left(mod1000\right)\)

Do đó \(6^{5^{12}}\equiv6^{625}\equiv456\left(mod1000\right)\)

p/s: làm vội quá ko bt có sai sót j ko

\(2\sqrt{2-\sqrt{3}}+\sqrt{2}=\sqrt{2}.\sqrt{4-2\sqrt{3}}+\sqrt{2}\)

\(=\sqrt{2}.\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}+\sqrt{2}=\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-1\right)+\sqrt{2}=\sqrt{6}\)

Giả sử có n điểm phân biệt

- Với n = 2, vẽ được 1 góc đỉnh O

- Với n = 3, vẽ được 3 góc đỉnh O \(\left(3=\dfrac{3.2}{2}\right)\)

- Với n = 4, vẽ được 6 góc đỉnh O \(\left(6=\dfrac{4.3}{2}\right)\)

- Với n = 5, vẽ được 10 góc đỉnh O \(\left(10=\dfrac{5.4}{2}\right)\)

\(\Rightarrow\) Với n điểm vẽ được \(\dfrac{n\left(n-1\right)}{2}\) góc đỉnh O

Vậy với 2007 điểm ta vẽ được \(\dfrac{2017.2016}{2}=2013021\) góc đỉnh O.

số nguyên tố nhỏ hơn 2????

\(2^{30}\equiv1\left(mod11\right)\)

\(\Rightarrow2^{2003}=\left(2^{30}\right)^{66}.2^{23}\equiv1^{66}.2^{23}\equiv2^{23}\equiv8\left(mod11\right)\)

\(\Rightarrow3^{2^{2003}}\equiv3^8\equiv5\left(mod11\right)\)