Với \(x,y>0\) ta có

\(1+x+y=\sqrt{x}+\sqrt{xy}+\sqrt{y}\)

\(\Leftrightarrow2+2x+2y-2\sqrt{x}-2\sqrt{xy}-2\sqrt{y}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\sqrt{x}+1\right)+\left(y-2\sqrt{y}+1\right)+\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y}-1\right)^2+\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2=0\)

\(\forall x,y>0\) ta luôn có \(\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{x}-1\right)^2\ge0\\\left(\sqrt{y}-1\right)^2\ge0\\\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y}-1\right)^2+\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=1\)

Vậy x=y=1

Nên P=Q=2

\(3^{151}>3^{150}=\left(3^2\right)^{75}=9^{75}>8^{75}=\left(2^3\right)^{75}=2^{225}\)

Vậy 2²²⁵ < 3¹⁵¹       

\(A=\dfrac{x^2-2x+2}{x^2+2x+2}\)

\(\Leftrightarrow Ax^2+2Ax+2A=x^2-2x+2\)

\(\Leftrightarrow\left(A-1\right)x^2+\left(2A+2\right)x+\left(2A-2\right)=0\) (*)

Để (*) có nghiệm thì

\(\Delta'\ge0\Leftrightarrow\left(A+1\right)^2-2\left(A-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow-A^2+6A-1\ge0\)

\(\Leftrightarrow3-2\sqrt{2}\le A\le3+2\sqrt{2}\)

Vậy GTNN của A là \(3-2\sqrt{2}\); GTLN của A là \(3+2\sqrt{2}\)

\(B=\dfrac{x^2+2x+2}{x^2+1}\)

Làm tương tự câu a ta được \(\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\le B\le\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\)

\(\forall x\in N\) ta có

\(B=x^3+6x^2-19x-24=\left(x-3\right)\left(x+1\right)\left(x+8\right)\)

- Nếu x chẵn thì \(\left(x+8\right)⋮2\Rightarrow B⋮2\)

- Nếu x lẻ thì \(\left(x-3\right)⋮2\Rightarrow B⋮2\)

Vậy \(B⋮2\)

Lại có \(x-3\equiv x\left(mod3\right)\) và \(x+8\equiv x+2\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow B=\left(x-3\right)\left(x+1\right)\left(x+8\right)\equiv x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\) (mod3)

Mặt khác x, x+1, x+2 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên ắt tồn tại 1 số chia hết cho 3 \(\Rightarrow\left[x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\right]⋮3\)

Hay \(B⋮3\)

Ta có \(B⋮2\), \(B⋮3\) mà 2 và 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên \(B⋮6\)

Đặt \(B=n\left(n+3\right)=k^2\) \(\left(k,n\in Z\right)\)

\(\Leftrightarrow n^2+3n=k^2\)

\(\Leftrightarrow4n^2+12n=4k^2\)

\(\Leftrightarrow4n^2+12n+9=4k^2+9\)

\(\Leftrightarrow\left(2n+3\right)^2-4k^2=9\)

\(\Leftrightarrow\left(2n+3-2k\right)\left(2n+3+2k\right)=9\)

\(\Rightarrow2n+3-2k,2n+3+2k\) là các ước của 9.

Đến đây dễ rồi

Xét \(x^3=2a+3x.\sqrt[3]{a^2-\left(\dfrac{a+1}{3}\right)^2.\dfrac{8a-1}{3}}\)

\(\Leftrightarrow x^3=2a+3x.\sqrt[3]{\dfrac{\left(1-2a\right)^3}{27}}\)

\(\Leftrightarrow x^3=2a+x.\left(1-2a\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+x+2a\right)=0\)

Dễ thấy \(x^2+x+2a=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{8a-1}{4}>0\) (vì \(a>\dfrac{1}{8}\))

Nên x=1 hay x là số nguyên.

719 tick ccho mk đi bạn bạn nguyễn vân phương thùy

a) Please xem lại đề

b) \(a+b\ge2\sqrt{a}+2\sqrt{b}-2\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2\sqrt{a}+1\right)+\left(b-2\sqrt{b}+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-1\right)^2+\left(\sqrt{b}-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\)

c) Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số

\(a+\dfrac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\dfrac{1}{b\left(a-b\right)}\ge3\sqrt[3]{\left(a-b\right).b.\dfrac{1}{b\left(a-b\right)}}=3\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a-b=b=\dfrac{1}{b\left(a-b\right)}\Leftrightarrow a=2;b=1\)

d) Áp dụng BĐT Cauchy cho 4 số

\(\dfrac{3x^4+16}{x^3}=3x+\dfrac{16}{x^3}=x+x+x+\dfrac{16}{x^3}\ge4\sqrt[4]{x.x.x.\dfrac{16}{x^3}}=8\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x=\dfrac{16}{x^3}\Leftrightarrow x=2\)

2. Xét a=0, ta thấy BĐT trên đúng

Xét a>0, áp dụng BĐT Cauchy dạng \(\sqrt[3]{xyz}\le\dfrac{x+y+z}{3}\) ta có

\(\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{a.1.1}\le\dfrac{a+2}{3}\) (1)

\(\sqrt[3]{a^2}=\sqrt[3]{a.a.1}\le\dfrac{2a+1}{3}\) (2)

Cộng (1) và (2) ta được \(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{a^2}\le\dfrac{3a+3}{3}=1+a\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=1\)

3. Với x,y,z>0 áp dụng BĐT Cauchy ta có

\(x+y+z+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\)

\(=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)+\left(z+\dfrac{1}{z}\right)\)

\(\ge2\sqrt{x.\dfrac{1}{x}}+2\sqrt{y.\dfrac{1}{y}}+2\sqrt{z.\dfrac{1}{z}}=2+2+2=6\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{x}\\y=\dfrac{1}{y}\\z=\dfrac{1}{z}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=1\)

1. Với a=b=c=0, ta thấy BĐT trên đúng

Với a,b,c>0 áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương

\(a^3+a^3+b^3\ge3\sqrt[3]{a^3.a^3.b^3}=3\sqrt[3]{a^6b^3}=3a^2b\) (1)

\(b^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{b^3.b^3.c^3}=3\sqrt[3]{b^6c^3}=3b^2c\) (2)

\(c^3+c^3+a^3\ge3\sqrt[3]{c^3.c^3.a^3}=3\sqrt[3]{c^6a^3}=3c^2a\) (3)

Cộng (1), (2), (3) vế theo vế:

\(a^3+b^3+c^3\ge a^2b+b^2c+c^2a>\dfrac{a^2b+b^2c+c^2a}{3}\) (vì a,b,c>0)

Do đó BĐT trên đúng \(\forall a,b,c\ge0\)