1.Cho x, y \(\ge\)0 và x+ y=1
Chứng minh rằng : \(x^3+y^3\ge\dfrac{1}{4}\)
2. Cho \(a,b,c\ge0\).Chứng minh rằng:
a, \(a^3+b^3>ab\left(a+b\right)\)
b, \(a^3+b^3+c^3\ge a^2b+ b^2c+c^2a\)
3. Cho x+ y+ z=3 và x, y, z>0. Chứng minh rằng:
a, \(P=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\ge\dfrac{3}{2}\)
b, \(Q=\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{y}{y^2+1}+\dfrac{z}{z^2+1}\le\dfrac{3}{2}\)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, C thuộc nửa đường tròn. Vẽ đường thẳng d đi qua B vuông góc với AB cắt AC tại D.
a, Chứng minh AC. AD không đổi khi C di chuyển trên nửa đường tròn.
b, Vẽ đường thẳng d2 đi qua C vuông góc tại O cắt Bd tại M. Chứng minh: M là trung điểm BD.
c, Vẽ CH vuông góc với AB tại H cắt AM tại I. Chứng minh I là trung điểm của CH
Cho tam giác ABC vuông tại A, AH_|_ BC, E và F lần lượt là hình chiếu của H trên cạnh AB, AC
a, ABHF là hình chữ nhật
b, \(\dfrac{AE}{AB}+\dfrac{ÀF}{AC}=1\)
c, ▲ AFE~▲ ABC
d, Gọi I là trung trực của EF cắt trực tâm của BC tại K. Gọi O là giao điểm của AH tại EF. I là trung điểm BC. Chứng minh: AOKI là hình bình hành