\(\sqrt{x+3+4\sqrt{x-1}}+\sqrt{8-6\sqrt{x-1}+x}=1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+2\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-3\right)^2}=1\)

\(\Leftrightarrow\left|\sqrt{x-1}+2\right|+\left|\sqrt{x-1}-3\right|=1\)

Ta có:

\(VT=\left|\sqrt{x-1}+2\right|+\left|3-\sqrt{x-1}\right|\ge\left|\sqrt{x-1}+2+3-\sqrt{x-1}\right|=5\)

mà VP = 1

Vậy pt vô nghiệm.

Gọi A là biểu thức chứa n

\(n^3-n^2+n-1=\left(n-1\right)\left(n^2+1\right)\)

=> A chia hết cho n-1

TH 1 : n-1= -1 

A = -1 => a k phải là số nguyên tố

TH2 : n-1 = 1 => n=2 => A là số nguyên tố 

TH3 : n-1 = A => n²+1 = 1

=> A k là số nguyên tố

Gọi độ dài các cạnh của tam giác là a,b,c

Ta có: \(\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=\frac{c-a}{5-3}=\frac{6}{2}=3\)

\(\frac{a}{3}=3\Rightarrow a=9;\frac{b}{4}=3\Rightarrow b=12;\frac{c}{5}=3\Rightarrow c=15\)

Vậy độ dài các cạnh của tam giác đố là 9m, 12m, 15m 

\(\sqrt{125}-2\sqrt{20}-3\sqrt{80}+4\sqrt{25}\)

\(=5\sqrt{5}-4\sqrt{5}-12\sqrt{5}+20\)

\(=20-11\sqrt{5}\)

~ ~ ~ ~ ~

\(\sqrt{8x}-\sqrt{18x}+2\sqrt{32x}=14\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(2\sqrt{2}-3\sqrt{2}+8\sqrt{2}\right)=14\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\times7\sqrt{2}=14\)

\(\Leftrightarrow98x=196\)

\(\Leftrightarrow x=2\) (nhận)

\(P=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{6\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{7-6\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\dfrac{\left(x+\sqrt{x}\right)+\left(7\sqrt{x}-7-6x+6\sqrt{x}\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{-5x+14\sqrt{x}-7}{x-1}\)

\(\dfrac{-5x+14\sqrt{x}-7}{x-1}< \dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow2\left(-5x+14\sqrt{x}-7\right)< x-1\)

\(\Leftrightarrow11x-28\sqrt{x}+13>0\)

x² + 14x + y² - 12y + 47

= x² + 14x + 49 + y² - 12y + 36 - 38

= (x + 7)² + (y - 6)² - 38 \(\ge\) - 38

Dấu "=" xảy ra khi x = - 7 và y = 6

x² + 2x - 8y² = 41

<=> (x + 1)² - 8y² = 42 (1)

Ta có:

\(-8y^2⋮2\) và \(42⋮2\) \(\Rightarrow\left(x+1\right)^2⋮2\Rightarrow x⋮̸2\)

Đặt x = 2k + 1 \(\left(k\in Z\right)\), ta có:

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(2k+1+1\right)^2-8y^2=42\)

\(\Leftrightarrow4\left(k+1\right)^2-8y^2=42\)

\(\Leftrightarrow2\left(k+1\right)^2-4y^2=21\)

Ta có:

\(VT⋮2\) mà \(VP⋮̸2\)

Vậy pt không có nghiệm nguyên.

\(\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{1}{4}\left(gt\right)\Rightarrow HC=4HB\)

Tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao:

\(AH^2=HB\times HC=HB\times4HB=4HB^2\left(htl\right)\)

\(\Rightarrow HB=7\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow HC=4\times7=28\left(cm\right)\)

\(S_{ABC}=S_{HAC}+S_{HAB}=\dfrac{1}{2}\times AH\times\left(HB+HC\right)=1372\left(cm^2\right)\)

Tam giác HAC vuông tại H có:

\(AC^2=AH^2+HC^2\left(ptg\right)\)

\(\Rightarrow AC=14\sqrt{5}\left(cm\right)\)

Tam giác HAB vuông tại H có:

\(AB^2=AH^2+BH^2\left(ptg\right)\)

\(\Rightarrow AB=7\sqrt{5}\left(cm\right)\)

\(P_{ABC}=AB+AC+BC=14\sqrt{5}+7\sqrt{5}+\left(HB+HC\right)=42+21\sqrt{5}\left(cm\right)\)

Tam giác ABD vuông tại A có AO là đường cao:

\(\dfrac{1}{AO^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AD^2}\left(hlt\right)\)

\(\Rightarrow AO=12\left(cm\right)\)

Tam giác OAB vuông tại O:

\(AB^2=OA^2+OB^2\left(ptg\right)\)

\(\Rightarrow OB=9\left(cm\right)\)

Tam giác OAD vuông tại O:

\(AD^2=OA^2+OD^2\left(ptg\right)\)

\(\Rightarrow OD=16\left(cm\right)\)

Tam giác DAC vuông tại D có DO là đường cao:

\(AD^2=OA\times AC\left(htl\right)\)

\(\Rightarrow AC=\dfrac{100}{3}\left(cm\right)\)

Tam giác DAC vuông tại D có:

\(AC^2=AD^2+DC^2\left(ptg\right)\)

\(\Rightarrow DC=\dfrac{80}{3}\left(cm\right)\)

\(S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}\times\left(AB+CD\right)\times AD=\dfrac{1250}{3}\left(cm^2\right)\)