Hiện nay, tuổi bố nhiều hơn tổng số tuổi của hai con là: 38 - ( 7 + 5) = 26 tuổi

Cứ sau 1 năm, tuổi bố tăng lên 1 tuổi thì tổng số tuổi hai con tăng lên 2 tuổi (con tai tăng 1 tuổi; con gái tăng 1 tuổi)

=> Cứ sau 1 năm thì hiệu số tuổi của bố và tổng số tuổi của hai con giảm đi 1 tuổi

Vậy khi tuổi bố bằng tổng số tuổi hai con thì hiệu số tuổi bằng 0; tức là giảm đi 26 tuổi

=> Sau số năm là: 26 : 1 = 26 năm

\(Q=\dfrac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\dfrac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}+\dfrac{2\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}-1}\)

\(=x-\sqrt{x}-2\sqrt{x}-1+2\sqrt{x}+2\)

\(=x-\sqrt{x}+1\)

\(=\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi x = 0,25

~ ~ ~

\(Q_1=\dfrac{3\left(x-\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}=\dfrac{3\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}}+\dfrac{3}{\sqrt{x}}=3\sqrt{x}-3+\dfrac{3}{\sqrt{x}}\)

Q₁ đạt giá trị nguyên

<=> \(\sqrt{x}\in\text{Ư}\left(3\right)=\left\{1;3\right\}\Leftrightarrow x\in\left\{1;9\right\}\)

\(P=\left[\dfrac{x+3\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}-\dfrac{x+\sqrt{x}}{x-1}\right]\div\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right)\)

\(=\left[\dfrac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}-\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right]\)\(\div\left[\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right]\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\times\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{-2}\)

\(=-\dfrac{\sqrt{x}+1}{2}\)

~ ~ ~

\(-\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{\sqrt{x}+1}{8}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{\sqrt{x}+1}{8}\le-1\)

\(\Leftrightarrow16+x+2\sqrt{x}+1\le-8\sqrt{x}-8\)

\(\Leftrightarrow x+10\sqrt{x}+25\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+5\right)^2\le0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\le-5\) (vô lý)

Vậy không có giá trị nào của x thoả mãn yêu cầu.

Sửa đề: Chứng minh \(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)

~ ~ ~

Áp dụng BĐT Cauchy Shwarz, ta có:

\(\left(1+1+1\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^4}{9}\)

Áp dụng BĐT Cauchy Shwarz và BĐT AM - GM, ta có:

(+) \(\left(1+1+1\right)\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3}\)

\(\ge\dfrac{\dfrac{\left(a+b+c\right)^4}{9}}{3}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{27}\times\left(a+b+c\right)\)

\(\ge\dfrac{\left(3\sqrt[3]{abc}\right)^3}{27}\times\left(a+b+c\right)=abc\left(a+b+c\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

b)

M = - x² - x - y² - 3y + 13

4M = - 4x² - 4x - 4y² - 12y + 52

= - (2x + 1)² - (2y + 3)² + 42 \(\le\) 42

\(M\le\dfrac{21}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=-\dfrac{1}{2}\) và \(y=-\dfrac{3}{2}\)

a) Biến đổi tương đương:

\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\) (1)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\) luôn đúng

=> (1) đúng

Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1

b) Áp dụng BĐT Cauchy Shwarz dạng Engel, ta có:\(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}=\dfrac{a^2}{3}+\dfrac{b^2}{3}+\dfrac{c^2}{3}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3+3+3}=\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^2\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c.

\(A=\dfrac{x^2+3x+4}{x+1}=\dfrac{x\left(x+1\right)+2\left(x+1\right)+2}{x+1}=x+2+\dfrac{2}{x+1}\)

\(A\in Z\Leftrightarrow\dfrac{2}{x+1}\in Z\Leftrightarrow x+1\in\text{Ư}\left(2\right)=\left\{-2;-1;1;2\right\}\)

\(\Leftrightarrow x\in\left\{-3;-2;0;1\right\}\)

\(B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-3\right)+3}{\sqrt{x}-3}=1+\dfrac{3}{\sqrt{x}-3}\)

\(B\in Z\Leftrightarrow\dfrac{3}{\sqrt{x}-3}\in Z\Leftrightarrow\sqrt{x}-3\in\text{Ư}\left(3\right)=\left\{-3;-1;1;3\right\}\)

\(\Leftrightarrow x\in\left\{0;3\right\}\)

\(\sqrt{x-2}+\sqrt{x-1}=\sqrt{2x-3}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x-3}-\sqrt{x-1}-\sqrt{x-2}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2x-3-x+1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x-1}}-\sqrt{x-2}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-2}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x-1}}-\dfrac{x-2}{\sqrt{x-2}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x-1}}-\dfrac{1}{\sqrt{x-2}}\right)=0\)

Pt \(\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x-1}}-\dfrac{1}{\sqrt{x-2}}=0\) vô nghiệm

=> x - 2 = 0

<=> x = 2 (nhận)

Ta có dãy:

1000;1001;1002;1003;......;9999

Dãy trên có: (9999-1000):1+1=9000(SỐ)

ĐS:9000 số