\(2\sqrt{x^2-2x}< 2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2-2x}< 1\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x< 1\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-1< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1-\sqrt{2}\right)\left(x-1+\sqrt{2}\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow1-\sqrt{2}< x< 1+\sqrt{2}\)

\(\sqrt{x-2}+2\sqrt{x-3}+\sqrt{x+6+6\sqrt{x-3}}=4\)

\(\left(\text{Đ}\text{KXĐ}:x\ge3\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-2}+2\sqrt{x-3}+\sqrt{\left(\sqrt{x-3}+3\right)^2}=4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-2}+2\sqrt{x-3}+\sqrt{x-3}+3=4\)

\(\Leftrightarrow\Leftrightarrow\sqrt{x-2}+3\sqrt{x-3}-1=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-2-1}{\sqrt{x-2}+1}+3\sqrt{x-3}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-3}{\sqrt{x-2}+1}+\dfrac{3\left(x-3\right)}{\sqrt{x-3}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{\sqrt{x-2}+1}+\dfrac{3}{\sqrt{x-3}}\right)\left(x-3\right)=0\)

Pt \(\dfrac{1}{\sqrt{x-2}+1}+\dfrac{3}{\sqrt{x-3}}\) vô n_o

=> x - 3 = 0

<=> x = 3 (nhận)

\(\Delta ABC\) có AB = 17,2 cm và \(\widehat{B}=46^0\). Tính BC và S_ABC.

~ ~ ~ ~ ~

Kẻ đường trung trực AH của \(\Delta ABC\)

\(\Delta HAB\) vuông tại H

(+) => \(\sin B=\dfrac{AH}{AB}\)

\(\Rightarrow AH\approx12,37\left(cm\right)\)

(+) => \(\cos B=\dfrac{BH}{AB}\)

\(\Rightarrow BH\approx11,95\left(cm\right)\)

BC = 2BH ~ 23, 892 (cm)

S_ABC = AH . BC : 2 ~ 147, 83 (cm²)

\(\Delta ABC\) cân có \(\widehat{A}=78^0\) và BC = 28,5 cm. Tính AB và S_ABC.

~ ~ ~ ~ ~

Kẻ đường trung trực AH của \(\Delta ABC\) cân tại A

\(\Rightarrow BH=HC=\dfrac{BC}{2}=14,25\left(cm\right)\)

\(\Delta ABC\) cân tại A

\(\Rightarrow\widehat{B}=90^0-\dfrac{\widehat{A}}{2}=51^0\)

\(\Delta HAB\) vuông tại H

(+) \(\Rightarrow\cos B=\dfrac{BH}{AB}\)

\(\Rightarrow AB\approx22,64\left(cm\right)\)

(+) \(\Rightarrow\tan B=\dfrac{AH}{BH}\)

\(\Rightarrow AH\approx8,97\left(cm\right)\)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\times AH\times BC\approx127,79\left(cm^2\right)\)

1)

a)

\(\Delta ABC\) vuông tại A

(+) \(\Rightarrow BC^2=AB^2+AC^2\left(ptg\right)\)

\(\Rightarrow BC=10\left(cm\right)\)

(+) \(\sin B=\cos C=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}\)

\(\Rightarrow B\approx53^07';C\approx36^052'\)

b)

AD là đpg của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{DC}{AC}=\dfrac{BD+DC}{AB+AC}=\dfrac{BC}{AB+AC}\) (tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)

\(\Rightarrow BD=\dfrac{30}{7}\left(cm\right);DC=\dfrac{40}{7}\left(cm\right)\)

c)

\(\widehat{DEA}=\widehat{EAF}=\widehat{AFD}=90^0\)

=> AEDF là hcn có AD là đpg

=> AEDF là hv

FD // AB (cùng _I_ AC)

\(\Rightarrow\dfrac{FA}{CA}=\dfrac{BD}{BC}\left(talet\right)\)

\(\Rightarrow FA=\dfrac{24}{7}\left(cm\right)\)

\(S_{AEDF}=FA^2=\dfrac{576}{49}\left(cm^2\right)\)

\(P_{AEDF}=4FA=\dfrac{96}{7}\left(cm\right)\)

\(\sqrt{x-2}-3\sqrt{x^2-4}=0\left(x\ge2\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-2}-3\sqrt{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-2}\left(1-3\sqrt{x+2}\right)=0\)

(+) x - 2 = 0

<=> x = 2 (nhận)

(+) \(1-3\sqrt{x+2}=0\)

\(\Leftrightarrow9\left(x+2\right)=1\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{9}-2\)

\(\Leftrightarrow x=-\dfrac{17}{9}\) (loại)

\(\sqrt{4x+1}-\sqrt{3x+4}=1\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{4x+1}-9\right)-\left(\sqrt{3x+4}-8\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4x+1-81}{\sqrt{4x+1}+9}-\dfrac{3x+4-64}{\sqrt{3x+4}+8}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4\left(x-20\right)}{\sqrt{4x+1}-9}-\dfrac{3\left(x-20\right)}{\sqrt{3x+4}+8}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-20\right)\left(\dfrac{4}{\sqrt{4x+1}+9}-\dfrac{3}{\sqrt{3x+4}+8}\right)=0\)

Pt \(\dfrac{4}{\sqrt{4x+1}+9}-\dfrac{3}{\sqrt{3x+4}+8}=0\) vô n_o

=> x - 20 = 0

<=> x = 20 (nhận)

a)

\(\Delta HAC\) vuông tại H có HD là đường cao

\(\Rightarrow HC^2=DC\times AC\)

HD // AB (cùng _I_ AC)

\(\Rightarrow\dfrac{DC}{AC}=\dfrac{HC}{BC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{DC^2}{AC^2}=\dfrac{HC^2}{BC^2}\)

\(\Rightarrow AC^2=\dfrac{DC^2\times BC^2}{HC^2}=\dfrac{DC^2\times BC^2}{DC\times AC}=\dfrac{DC\times BC^2}{AC}\)

\(\Rightarrow AC^3=DC\times BC^2\left(\text{đ}pcm\right)\)

b)

\(\Delta ABC\) vuông tại A có AH là đường cao

\(\Rightarrow AH^2=BH\times CH\) (1)

\(\Delta HAC\) vuông tại H có HD là đường cao

\(\Rightarrow AH^2=AD\times AC\) (2)

(1) và (2) => đpcm

c)

​\(\Delta HAC\) ​vuông tại H có HD là đường cao

\(\Rightarrow\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{HC^2}=\dfrac{1}{HD^2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{HD^2}-\dfrac{1}{HC^2}\) (3)

\(\Delta ABC\) vuông tại A có AH là đường cao

\(M=-x^2+4x-y^2-12y+47\)

\(=-\left(x^2-4x+4\right)-\left(y^2+12y+36\right)+87\)

\(=87-\left(x-2\right)^2-\left(y+6\right)^2\le87\)

Dấ "=" xảy ra khi x = 2 và y = - 6

Q = - x² - 2y² - 2xy + 8x + 6y + 13

= - x² - y² - 4² - 2xy + 8y + 8x - y² - 2y - 1 + 30

= 30 - (x² + y² + 4² + 2xy - 8y - 8x) - (y² + 2y + 1)

= 78 - (x + y - 4)² - (y + 1 )² \(\le\) 30

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+y-4=0\\y+1=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=5\\y=-1\end{matrix}\right.\)